Evalúe $\int_{-\infty}^{\infty} \chi_{[0,1]}(x-y) \chi_{[0,1]}(y) \, \mathrm{d}y$

Question

Estoy tratando de evaluar la integral $$\int_{-\infty}^{\infty} \chi_{[0,1]}(x-y) \chi_{[0,1]}(y) \, \mathrm{d}y$$ donde $\chi_{[0,1]}(x)=1$ es la función característica, es decir, igual a $1$ para $x \in [0,1]$ y $0$ de lo contrario. ¿Cómo evalúo esta integral? Hasta ahora he hecho $$\int_{-\infty}^{\infty} \chi_{[0,1]}(x-y) \chi_{[0,1]}(y) \, \mathrm{d}y = \int_{0}^1 \chi_{[0,1]} (x-y) \, \mathrm{d}y.$$ He probado la sustitución, pero no encuentro nada útil. La respuesta debería ser la función $$f(x)= \left\{ \begin{array}{l l} x & \quad \text{if $x \in [0,1]$}\\ 2-x & \quad \text{if $x \in [1,2]$}\\ 0 & \quad \text{otherwise.} \end{array} \right.$$

Answer 1

Variables de cambio $x-y=s$ por lo que el nuevo dominio es $(x,x-1)$ . Usted tiene $$ \int_0^1\Xi(x-y)dy=\int_{x-1}^x\Xi(s)ds. $$ Ahora bien, si $x-1>1$ y si $x<0$ la integral desaparece. Además, se tiene $$ \int_{x-1}^x\Xi(s)ds=\text{length}\left((x-1,x)\cap(0,1)\right). $$ Si $0<x<1$ $$ \text{length}\left((x-1,x)\cap(0,1)\right)=x. $$ En caso contrario, si $1<x<2$ $$ \text{length}\left((x-1,x)\cap(0,1)\right)=1-(x-1)=2-x $$

Answer 2

Has empezado con buen pie. Siguiente nota $$ \chi_{[0,1]}(x-y) = \begin{cases} 1, & \text{for $x-1 \le y \le x$} \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}. $$ ¡Dibuja algunos gráficos!

Por lo tanto, si $0< x < 1$ entonces $\chi_{[0,1]}(x-y)$ sobre el conjunto de $[0,1]$ . Por tanto, la integral es $0$ .

Si $0 < x < 1$ entonces $\chi_{[0,1]}(x-y) = 1$ en $[0,x]$ y $=0$ sobre el resto de $[0,1]$ . En este caso, la integral será $$ \int_0^x 1\,dy = x. $$

Tercer caso, si $1 < x < 2$ entonces $\chi_{[0,1]}(x-y) = 1$ en $[x-1,1]$ y $=0$ sobre el resto de $[0,1]$ por lo que la integral será $$ \int_{x-1}^1 1\,dy = 2-x.$$

Por último, si $x > 0$ entonces $\chi_{[0,1]}(x-y) = 0$ en $[0,1]$ otra vez.