Residuo en $\infty$ de $\frac{\sin(\pi z)}{z^2(z-1)}$ es $0$ pero los residuos del único polo finito en $0$ es $-\pi$

Question

Necesito encontrar el residuo en $\infty$ de $$f(z)=\frac{\sin(\pi z)}{z^2(z-1)}$$ Escribí la función como $$f(z)=\frac{g(z)}{z} \hspace{1cm} \text{given}\hspace{5mm} g(z) = \frac{\sin(\pi z)}{z(z-1)} \quad \text{which is analytic at z=0}$$

Desde $z=0$ es un polo simple para $f(z)$ He evaluado el límite como $z\rightarrow0$ que da $-\pi$ .

Ahora, para evaluar el residuo en $\infty$ He utilizado la sustitución $z=\frac{1}{w}$ y evaluó la $\text{Res} \{ \frac{1}{w^2} f(\frac{1}{w}); w=0\}$ pero $$\frac{1}{w^2}f(\frac{1}{w})=w\frac{\sin\left(\frac{\pi}{w}\right)}{1-w}$$

Tiene residuo igual a $0$ en $w=0$ . El residuo en $\infty$ debe ser igual a las sumas de todos los residuos de los polos finitos cambiados por un menos, en nuestro caso debe ser $\pi$ .

No sé si estoy usando mal la definición o si hay un error en el procedimiento, por favor ayúdenme a encontrar el error.

Answer 1

Sea $f(z)=\frac{\sin(\pi z)}{z^2(z-1)}$ . Entonces, podemos escribir

$$\begin{align} \text{Res}\left(f(z), z=\infty\right)&=\text{Res}\left(-\frac1{z^2}f(1/z), z=0\right)\\\\ &=\text{Res}\left(\frac{z\sin(\pi/z)}{z-1}, z=0\right) \end{align}$$

Tenga en cuenta que $\sin(\pi/z)$ tiene una singularidad esencial en $z=0$ y así $\hat f(z) =\frac{z\sin(\pi/z)}{z-1}$ también tiene una singularidad esencial en $z=0$ . De hecho, su valor como $z\to 0$ toma todos los valores posibles y, por tanto, su límite no converge. Además, su residuo es pas igual a cero (Una función con una singularidad esencial puede tener residuo cero).

Para calcular el residuo de $\hat f(z)=\frac{z\sin(\pi/z)}{z-1}$ en $z=0$ ampliamos $\hat f(z)$ en una serie Laurent. Procediendo tenemos

$$\begin{align} \hat f(z)&=\left(1-\sum_{m=0}^\infty z^m\right)\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(\pi/z)^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)\\\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(\pi/z)^{2n+1}}{(2n+1)!}-\left(\sum_{m=0}^\infty z^m\right)\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(\pi/z)^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)\\\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(\pi/z)^{2n+1}}{(2n+1)!}-\sum_{p=0}^\infty \sum_{q=0}^p \frac{(-1)^q(\pi)^{2q+1}}{(2p+1)!}z^{p-3q-1}\tag1 \end{align}$$

El residuo de la primera serie en el lado derecho de $(1)$ es igual a $\pi$ . Para el segundo término, obsérvese que sólo aquellos términos para los que $p=3q$ están implicados. Pero en ese caso, el resultado es $\sum_{q=0}^\infty \frac{(-1)^q(\pi)^{2q+1}}{(2q+1)!}=\sin(\pi)=0$ .

Por lo tanto, encontramos que

$$\text{Res}\left(\frac{\sin(\pi z)}{z^2(z-1)}, z=\infty\right)=\pi$$

¡como era de esperar!