$Ka=K$ si $a\in K$

Question

Sea $K$ sea un subgrupo de un grupo $G$ . Sea $a \in G$

Prueba $Ka=K$ si $a\in K$

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necesidad de mostrar $Ka=K \Rightarrow a \in K $ y $a\in K \Rightarrow Ka=K$

$\Rightarrow]$ ( $Ka=K \Rightarrow a \in K $ ) (ninguna pista aprecia una indirecta )

$\Leftarrow]$ ( $a\in K \Rightarrow Ka=K$ (igual no se como aprobar)

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Def $$ Ka =\{ka: k\in K \}$$

Answer 1

$K$ es un subgrupo y $e\in K, Ka=K$ implica $ea=a\in K$ .

Por otra parte, si $a\in K, a^{-1}\in K, x\in K$ implica $x=(xa^{-1})a, xa^{-1}\in K$ desde $x\in K, a^{-1}\in K$ así que $x=(xa^{-1})a\in K$ . Esto implica que $K\subset Ka, Ka\subset K$ ya que un grupo es estable por multiplicación.

Answer 2

Tal vez esto pueda ayudar.

$\Rightarrow$ Supongamos que $Ka=K$ . Usted sabe que $ea=a$ donde $e$ es la identidad en $G$ y, por tanto, una identidad en $K$ para que $e\in K$ . Desde $ea\in Ka$ y $Ka=K$ obtenemos $ea\in K$ Eso es, $a\in K$ .

$\Leftarrow$ Supongamos que $a\in K$ . Debemos tener en cuenta lo siguiente.

$i.$ Sea $x\in Ka$ . Entonces existe $k\in K$ tal que $x=ka$ . Por lo tanto, tenemos $a,k\in K$ y porque $K$ es un subgrupo de $G$ obtenemos $ka\in K$ . Porque $ka=x$ obtenemos $x\in K$ . Por lo tanto, $Ka\subset K$ .

$ii.$ Sea $x\in K$ . Porque $K$ es un subgrupo de $G$ obtenemos $a^{-1}\in K$ y por lo tanto, $xa^{-1}\in K$ . Esto demuestra que $(xa^{-1})a\in Ka$ . Pero $(xa^{-1})a=x$ . Así, $x\in Ka$ y así, $K\subset Ka$ .

Combinación de $(i)$ y $(ii)$ obtenemos $Ka=K$ .