Prueba de que $(a,b) = (c,d)$

Question

Demuestre que si el par ordenado $(a,b)$ se define como $\{\{a\}, \{a,b\}\}$ entonces $(a,b) = (c,d)$ sólo si $a=c$ y $b=d$ .

Alguien intentó probarlo y empezó por la dirección de avance $\Rightarrow$ diciendo que supongamos que $(a,b) = (c,d)$ entonces por la definición de par ordenado $(a,b) = \{\{a\}, \{a,b\}\}$ :

$$\{\{a\}, \{a,b\}\} = \{\{c\}, \{c,d\}\}$$

Entonces, mi pregunta es por qué asumió que $$\{\{a\}, \{a,b\}\} = \{\{c\}, \{c,d\}\}$$ de la definición del par ordenado $(a,b) = \{\{a\}, \{a,b\}\}$ dado lo único dado fue $(a,b) = \{\{a\}, \{a,b\}\}$ ?

Answer 1

$\Rightarrow$ Supongamos que $a=c$ y $b=d$ . Entonces $(a,b) = \{\{a\}, \{a,b\}\} = \{\{c\}, \{c,d\}\} = (c,d) \implies (a,b) = (c,d)$

$\Leftarrow$ Supongamos que $(a,b) = (c,d)$ Entonces $(a,b) = \{\{a\}, \{a,b\}\} = (c,d) \implies c=a, b=d$ por la definición dada de par ordenado.

Como decía @azif00 en el comentario a tu pregunta, quizá te resulte más fácil definir $(x,y)$ como $\{\{x\}, \{x,y\}\}$ y utilizando esta definición, demostrar $(a,b) = (c,d) \iff a=b, c=d$