Evaluación de una suma triple ${\sum \sum \sum}_{1 \le i < j \le k \le 20} a_ia_ja_k$

Question

Si $$a_i= \begin{cases} 1 && 1 \le i \le 10 \\ 2 && 11 \le i \le 20 \end{cases} $$

Hallar el valor de $$\displaystyle {\sum \sum \sum}_{1 \le i < j \le k \le 20} a_ia_ja_k $$

Sólo pude evaluar la suma cuando $1 \le i < j \le k \le 10$ escribiéndolo como $\displaystyle {\sum _{i=1}^9\sum_{j=i+1}^{10} \sum_{k=j}^{10}} 1$ que resultó ser $\displaystyle \binom{11}{3}$ .

¿Debo hacer diferentes casos como $i \le 10, 11 \le j \le k \le 20$ etc.

¿Cómo lo evalúo para los demás casos? ¿Hay alguna manera más fácil de evaluarlo sin evaluar cada suma una por una? ¿Podría haber un enfoque combinatorio? Me encantaría ver distintos enfoques de este problema.

Answer 1

Sea

• $ A = \sum_{i < j < k } a_ia_ja_k$
• $ B = \sum_{i = j < k } a_ia_ja_k$
• $ C = \sum_{i < j = k } a_ia_ja_k$
• $ D = \sum_{i = j = k } a_ia_ja_k$

Estamos tras $ A + C$ .

Claramente,

• $ 30^3 = ( \sum a_i)^3 = D + 3C + 3B + 6A$ .
• $ D = 10 ( 1^3 + 2^3 ) = 90$
• $C = 2^2 ( 10 \times 10\times 1 + \frac{10 \times 9 }{ 2} \times 2 ) + 1^2 (\frac{10 \times 9 } { 2} \times 1) = 805$
• $ B = 1^2 (10\times 10 \times 2 + \frac{10 \times 9} { 2} \times 1) + 2^2 (\frac{10 \times 9 }{ 2} \times 2) = 605$
• Así que.., $A = \frac{30^3 - 90 - 3 \times 805 - 3 \times 605 }{ 6} = 3780$ .

Por lo tanto, $ A + C = 4585$ .

Answer 2

Esencialmente quieres contar cuántos trillizos $(i,j,k)$ conducirá a $(a_i,a_j,a_k)$ ser una de las cuatro posibilidades siguientes: $(1,1,1),(1,1,2),(1,2,2),(2,2,2)$ (piense por qué éstas son las únicas salidas posibles para $(a_i,a_j,a_k)$ .

Ahora, cuenta cuántos tripletes de $(i,j,k)$ bajo la restricción $1\le i <j \le k\le 20$ te dará cada una de esas cuatro salidas. En particular,

$(a_i,a_j,a_k)=(1,1,1)$ si tenemos $1\le i <j \le k\le 10$ . Digamos que hay $A$ muchos de ellos $(i,j,k)$ .

$(a_i,a_j,a_k)=(1,1,2)$ si tenemos $1\le i <j \le 10$ , $11\le k \le 20$ . Digamos que hay $B$ muchos de ellos $(i,j,k)$ .

$(a_i,a_j,a_k)=(1,2,2)$ si tenemos $1\le i \le 10$ , $11\le j\le k \le 20$ . Digamos que hay $C$ muchos de ellos $(i,j,k)$ .

$(a_i,a_j,a_k)=(2,2,2)$ si tenemos $11\le i < j\le k \le 20$ . Digamos que hay $D$ muchos de ellos $(i,j,k)$ .

El resultado final será $(1\cdot 1\cdot 1)A + (1\cdot 1\cdot 2)B + (1\cdot 2\cdot 2)C + (2\cdot 2\cdot 2) D$ .

Esto lo convierte en un problema de recuento para encontrar $A,B,C,D$ .

(Para comprobar su trabajo, debe obtener $A = 165, B = 450 , C = 550, D = 165$ . Y esto da la suma final correcta).

Answer 3

Este enfoque es una especie de fuerza bruta, pero podría hacerlo con éxito utilizando sólo lápiz y papel.

En primer lugar, consideraremos el caso $1 \le i \le 10$ . Obtenemos una matriz bidimensional para los valores que puede asumir el sumando:

Si lo haces en papel, no hace falta que escribas todos los términos una vez que tengas el patrón, y una elipsis funciona. Observa que Para un determinado $i$ sumaremos el triángulo inferior de esta matriz a partir del índice $i+1$ . Por lo tanto, a modo de ejemplo, para i=5, la suma tendrá el siguiente aspecto:

La suma para $i$ viene dado por $$S_i = \sum_{t=1}^{10-i}t + 20(10-i) + 220$$ Sumando esto de 1 a 10, obtenemos $$S_1 = \sum_{n=1}^9 \frac{n(n+1)}{2} + 20 \sum_{n=1}^9 n + 220 \times 10$$

Ahora consideraremos $11 \le i \le 20$ . En este caso, el triángulo inferior asume un valor de 8, y sigue el mismo patrón . La suma en este caso es $$S_2 = 8\sum_{n=1}^9 \frac{n(n+1)}{2}$$

Añadir $S_1$ y $S_2$ obtenemos $$S = 9\sum_{n=1}^9 \frac{n(n+1)}{2} + 20 \sum_{n=1}^9 n + 2200$$

Evaluar esto nos da $\boxed{S = 4585}$ .

Como apéndice, aquí está un simple programa python que escribí para comprobar la suma, y las adiciones que hice.

sum = 0
for i in range(1, 21):
    for j in range(i+1, 21):
        for k in range(j, 21):
            addend = 1
            if i > 10:
                addend *= 2
            if j > 10:
                addend *= 2
            if k > 10:
                addend *= 2
            sum += addend
            print(addend, end=" ")
        print("")

print(sum)