Demuestre que la función $\phi(z)=\sum_{j=1}^n |f_j(z)|^2 $ no tiene un máximo local

Question

Supongamos que $f_j(z) \in H(\Omega)(j=1,2, \ldots,n) $ . Demuestre que la función $$\phi(z)=\sum_{j=1}^n |f_j(z)|^2 $$ no tiene un máximo local en la región $\Omega$ a menos que todas las funciones $f_j(z)(j=1,2, \ldots,n)$ se reducen a una función constante.

Mi primer instinto fue demostrar que la función es ilimitada demostrando que no tendría máximo local. pero no estoy seguro de si esto es suficiente o no y no estoy seguro de que la función se reduzca a una constante.

Answer 1

Si se conoce algo de teoría de funciones subarmónicas, se puede argumentar que $z \mapsto \lvert f(z)\rvert^2$ es subarmónico si $f$ es una función holomorfa, y estrictamente subarmónica a menos que $f$ es constante. Como la suma de las funciones subarmónicas es constante, se deduce que $\phi$ es subarmónico, y estrictamente subarmónico a menos que todas las $f_j$ son constantes. Pero una función estrictamente subarmónica no tiene máximos locales.

Sin recurrir a la teoría de las funciones subarmónicas, podemos demostrar la afirmación de varias maneras utilizando diversas herramientas del análisis complejo. Una forma:

A partir de la fórmula de la integral de Cauchy, obtenemos la fórmula del valor medio para funciones holomorfas,

$$f(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z + re^{i\varphi})\,d\varphi\tag{1}$$

si $r$ es lo suficientemente pequeño como para que el disco cerrado $\overline{D_r(z)}$ está contenido en el dominio de $f$ . Aplicando el valor absoluto a $(1)$ obtenemos la desigualdad

$$\lvert f(z)\rvert \leqslant \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \lvert f(z + re^{i\varphi})\rvert\,d\varphi\tag{2}$$

en las mismas condiciones, y la desigualdad es estricta a menos que $f$ es constante en el círculo $\{w : \lvert w-z\rvert = r\}$ . Por el teorema de identidad eso implicaría que $f$ es constante. Ajuste $f = f_j^2$ para $j = 1,\dotsc,n$ y sumando, obtenemos que

$$\phi(z) \leqslant \frac{1}{2\pi} \sum_{j = 1}^n \int_0^{2\pi} \lvert f_j(z+ re^{i\varphi})\rvert^2\,d\varphi, \tag{3}$$

y la desigualdad es estricta a menos que tengamos la igualdad

$$\lvert f_j(z)\rvert^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \lvert f_j(z+re^{i\varphi})\rvert^2\,d\varphi$$

para todos $j$ es decir, a menos que todos $f_j$ son constantes. Pero si $\phi$ tiene un máximo local en $z_0\in \Omega$ para un valor suficientemente pequeño $r > 0$ tenemos

$$\phi(z) \geqslant \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \phi(z + re^{i\varphi})\,d\varphi,\tag{4}$$

y $(4)$ es compatible con $(3)$ sólo si tenemos igualdad en ambos, es decir, si todos los $f_j$ son constantes.

Answer 2

Si $f(z) = \sum_{k=0}^{\infty}c_k(z-a)^k$ en $D(a,R),$ entonces la ortogonalidad de las exponenciales muestra $$\tag 1\int_0^{2\pi}|f(a+re^{it})|^2\,dt = \int_0^{2\pi}|\sum_{k=0}^{\infty}c_kr^ke^{ikt}|^2 = 2\pi\sum_{k=0}^{\infty}|c_k|^2r^{2k}$$ para $0\le r <R.$ Tenga en cuenta que $(1)$ es una función creciente de $r.$ Además, es estrictamente creciente a menos que $c_k = 0$ para todos $k>0,$ es decir, a menos que $f$ es constante, en $D(a,R).$ Puedes aplicar esto a las integrales de $|f_1|^2 + \cdots +|f_n|^2$ para obtener el resultado deseado para el problema en cuestión.