Estimación del error de la secuencia que define e

Question

¿Existe una estimación del error de $e-\left(1+\frac1n\right)^n$ Gracias.

Answer 1

La serie de potencias para $\log(1+x)$ produce $$ n\log\left(1+\frac1n\right)=1-\frac1{2n}+O\left(\frac1{n^2}\right) $$ aplicando $e^{x+y}=e^xe^y$ y la serie de potencias para $e^x$ da $$ \left(1+\frac1n\right)^n=e\left(1-\frac1{2n}+O\left(\frac1{n^2}\right)\right) $$ Por lo tanto, $$ e-\left(1+\frac1n\right)^n=\frac{e}{2n}+O\left(\frac1{n^2}\right) $$