Integrar una exponencial interesante

Question

Intento integrar

$$\int_{x}^{\infty} e^{-t^\beta} dt$$

donde $\beta \in (0,1)$ .

La forma parece similar a la de una función gamma incompleta, ¿cómo debo proceder?

Intento sustituir $t=u^\frac{1}{\beta}$ y luego sustituir dentro de la integral para obtener

$$\int_{x^\beta}^{\infty} u^{(\frac{1}{\beta}-1)}e^{-u} du = \Gamma\bigg(\frac{1}{\beta},x^\beta\bigg)$$

Buscando la verificación sobre el cambio de límites y si esto todavía se aplica a la función gamma incompleta superior. Gracias.

Answer 1

Tu trabajo parece correcto. Desde $\beta\in(0,1)$ tenemos que (suponiendo $x\geq0$ ) $$\lim_{t\to x}t^\beta=x^\beta$$ y $$\lim_{t\to \infty}t^\beta=\infty$$ Por lo tanto, su resultado es correcto.