Cómo demostrar $\sum_{i=1}^ki^k(-1)^{k-i}\binom {k+1}{i} =(k+1)^k$

Question

Cómo demostrar $\sum_{i=1}^ki^k(-1)^{k-i}\binom {k+1}{i} =(k+1)^k$

donde k es un entero positivo.

Cualquier pista puede ayudar.

Answer 1

Podemos escribir la afirmación de OP colocando el RHS a la izquierda como:

\begin{align*} \sum_{i=1}^{k+1}\binom{k+1}{i}(-1)^{k-i}i^k=0\tag{1} \end{align*}

Utilizamos el operador de coeficiente de $[x^k]$ para denotar el coeficiente de $x^k$ de una serie.

Observamos \begin{align*} [x^k](e^x-1)^{k+1}&=[x^k]\left(\sum_{j=1}^{\infty}\frac{x^j}{j!}\right)^{k+1}\\ &=0\tag{2} \end{align*}

Por otro lado obtenemos \begin{align*} [x^k](e^x-1)^{k+1}&=[x^k]\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}(-1)^{k+1-j}e^{jx}\\ &=[x^k]\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}(-1)^{k+1-j}\sum_{r=0}^{\infty}j^r\frac{x^r}{r!}\\ &=\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k+1}\binom{k+1}{j}(-1)^{k+1-j}j^k\tag{3}\\ \end{align*}

Combinando (2) y (3) y multiplicando por $-\frac{1}{k!}$ obtenemos \begin{align*} \sum_{j=1}^{k+1}\binom{k+1}{j}(-1)^{k-j}j^k=0 \end{align*}

y la afirmación se sigue.

Answer 2

Supongamos que buscamos verificar que

$$\sum_{k=0}^n k^n (-1)^{n-k} {n+1\choose k} = (n+1)^n.$$

Reescribe esto como $$\sum_{k=0}^{n+1} k^n (-1)^{n-k} {n+1\choose k} = 0.$$

Introduce $$k^n = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+1}} \exp(kz) \; dz.$$

Esto da como resultado la suma

$$\frac{n!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+1}} \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^{n-k} {n+1\choose k} \exp(kz) \; dz \\ = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+1}} (\exp(z)-1)^{n+1} \; dz.$$

Esto es $$[z^n] (\exp(z)-1)^{n+1} = 0$$

porque $$\exp(z)-1 = z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} +\cdots$$

Esto es esencialmente lo mismo que la respuesta de @MarkusScheuer que voté a favor.