Probabilidad Suma de uno, dos o tres de tres dados

Question

Me dieron un problema en los deberes de estadística con el que tuve algunos problemas. La pregunta es la siguiente Si se lanzan tres dados de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener un cuatro cuando la obtención de un cuatro es un evento en el que cualquiera de los siguientes es cierto:

1. Al menos un dado es un 4
2. Dos dados cualesquiera suman 4
3. La suma de los tres dados es 4

He resuelto el problema de la siguiente manera: Estamos resolviendo para $$P(1 \cup2 \cup 3) = P(1) + P(2) + P(3) - P(1 \cap 2)$$ $P(1) = \frac{91}{216}$ y $P(3) = \frac{3}{216}$ son sencillas. Para resolver $P(2)$ Hice lo siguiente: $$P(2) = \frac{3}{36} * (3C2) - \frac{8}{216} = \frac{46}{216}$$ donde $\frac{8}{216}$ es restar los duplicados (que he obtenido simplemente contando). Finalmente, obtengo $P(1 \cap 2)$ contando también con: $$P(1 \cap 2) = 9/216$$ Esto me da: $$P(1 \cup 2 \cup 3) = \frac{91 + 3 + 46 - 9}{216} = \frac{131}{216}$$ He confirmado esta respuesta con algo de código Haskell y parece ser correcta.

Sin embargo, no estoy especialmente satisfecho con mi planteamiento, ya que es propenso a errores tener que contar la probabilidad de determinados sucesos. ¿Alguien puede aportar una solución más elegante a este problema?

Answer 1

Me pusieron un problema en los deberes de estadística con el que tuve algunos problemas. La pregunta es la siguiente Si se lanzan tres dados de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener un cuatro cuando la obtención de un cuatro es un evento en el que cualquiera de los siguientes es cierto:

• Al menos un dado es un 4 ( $A$ )
• Dos dados cualesquiera suman 4 ( $B$ )
• La suma de los tres dados es 4 ( $C$ )

Buena pregunta

Contesta: $$\newcommand{\c}[2]{\binom{#1}{#2}} \newcommand{\u}{\underbrace} \newcommand{\t}{\text} \newcommand{\b}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\f}{\frac} \begin{align} P(A\cup B\cup C)&=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)\\ P(A)&=1-(5/6)^3=91/216\\ P(B)&=\f1{6^3}\b{\u{\b{\u4_{2,4,5,6,}\cdot3!+\u2_{3,1}\cdot3}}_{1,3}+\u{\b{\u5_{1,3,4,5,6}\cdot3+\u1_2}}_{2,2}}=46/216\\ P(C)&=3/216\\ P(AB)&=\f1{216}\binom32\binom31=9/216\\ P(BC&=P(CA)=P(ABC)=0 \end{align}$$