Línea que interseca 2 líneas y es paralela a otra

Question

El problema es :

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L que corta a las rectas dadas L1 y L2 y es paralela a la recta dada L3.

L1: x = 1 + (t1), y = 2 + 2(t1), z = -2 + (t1)

L2: x = 2 + (t2), y = 1 + 2(t2), z = 3 + 3(t2)

L3: x = 1 + 2(t3), y = 1 + 7(t3), z = 1 + 3(t3)

(t1), (t2) y (t3) están en R

Gracias

Answer 1

Si dos líneas se cruzan, son coplanarias. En particular, $L$ y $L_1$ deben estar en el mismo plano, al igual que $L$ y $L_2$ Por lo tanto $L$ se encuentra en la intersección de estos dos planos. El producto cruz de los vectores de dirección de cada uno de estos pares de rectas es la normal al plano en el que se encuentran, y se puede extraer un punto conocido en cada uno de ellos $L_1$ y $L_2$ a partir de sus ecuaciones paramétricas, por lo que se puede construir fácilmente una ecuación para cada uno de estos planos. Una vez obtenidas las dos ecuaciones, encontrar su intersección también es sencillo. De hecho, sólo necesitas encontrar un punto en la intersección, puesto que ya sabes cuál debe ser el vector de dirección de la recta, pero merece la pena realizar todo el cálculo para asegurarte de que los planos se intersecan.

En concreto, tenemos para la normal del primer plano $(2,7,3)\times(1,2,1)=(1,1,-3)$ por lo que una ecuación para ello es $$x+y-3z=9.$$ Para el segundo plano, tenemos la normal $(2,7,3)\times(1,2,3)=(15,-3,-3)$ dando la ecuación $$5x-y-z=6.$$ Estas dos normales no son paralelas, por lo que los planos se cruzan en una línea. El resto te lo dejo a ti.

Answer 2

Utilicemos la notación vectorial para simplificar: $L_1: \vec r_1+t_1\vec l_1$ donde $\vec l_1=(1,2,1)$ y $\vec r_1=(1,2,-2)$ . Asimismo $L_2: \vec r_2+t_2\vec l_1$ donde $\vec l_2=(1,2,3)$ y $\vec r_2=(2,1,3)$ . Llamemos a la línea $L$ que se cruza con $L_1$ y $L_2$ y es paralelo a $L_3$ . Así obtenemos $L: \vec r+t \vec l_3$ donde $\vec l_3=(2,7,3)$ y $\vec r$ aún por determinar.
Desde la intersección de $L_1$ y $L$ obtenemos: $$\vec r_1+t_1 \vec l_1=\vec r+ t'_1 \vec l_3$$ Y de la intersección de $L_2$ y $L$ obtenemos: $$\vec r_2+t_2 \vec l_2=\vec r+ t'_2 \vec l_3$$ Si restamos la ecuación de los dos últimos vectores obtenemos: $$\vec r_1-\vec r_2+t_1 \vec l_1-t_2 \vec l_2=(t'_1-t'_2)\vec l_3$$ Si sustituimos los valores numéricos obtenemos tres ecuaciones como las siguientes: $$\left\{\begin{array}{c}-1+t_1-t_2=2(t'_1-t'_2) \\1+2(t_1-t_2)=7(t'_1-t'_2)\\-5+t_1-3t_2=3(t'_1-t'_2)\end{array}\right.$$ Podemos considerar $t_1$ , $t_2$ y $t'_1-t'_2$ como tres incógnitas en el sistema de tres ecuaciones para obtener: $t_1=0.5$ , $t_2=-2.5$ y $t'_1-t'_2=1$ . Así que de la intersección $L$ y $L_1$ podemos obtener $\vec r$ como sigue $$\vec r=\vec r_1+t_1 \vec l_1-t'_1 \vec l_3=(1,2,-2)+0.5(1,2,1)-t'_1 \vec l_3=(1.5,3,-1.5)-t'_1 \vec l_3$$ Entonces la ecuación paramétrica para $L$ será: $$L: \vec r+t \vec l_3=(1.5,3,-1.5)-t'_1 \vec l_3+t \vec l_3$$ o teniendo $t''=t-t'$ obtenemos $$L: \vec r+t \vec l_3=(1.5,3,-1.5)+t'' \vec l_3$$ o $$L: \vec r+t \vec l_3=(1.5,3,-1.5)+t'' (2,7,3)$$ o $$ L: x=1.5+2t'', y=3+7t'', z=-1.5+3t''$$

Answer 3

La geometría de esta cuestión es interesante, sobre todo para los curiosos condiciones que rige la existencia de una solución, por lo que me gustaría dar una respuesta que haga hincapié en este aspecto y, de paso, ilustrar cómo se puede abordar el problema en el caso más general, no sólo para el ejemplo particular de esta pregunta. Luego, al final, también se ofrecerá la solución a esta pregunta concreta de una forma que espero que sea tan clara como sencilla.

En términos vectoriales, tenemos
L1: $\ \ \vec{P} + t_1\vec{D_1}$
L2: $\ \ \vec{Q} + t_2\vec{D_2}$
L3: $\ \ \vec{R} + t_3\vec{D_3}$

y buscar $\vec{S}$
L: $\ \ \vec{S} + t\vec{D_3}$
tal que L interseca tanto a L1 como a L2.

Es interesante observar que hay son soluciones cuando las direcciones de las líneas $\vec{D_1}$ , $\vec{D_2}$ y $\vec{D_3}$ son no linealmente independientes.

Si $\vec{D_1}$ , $\vec{D_2}$ y $\vec{D_3}$ no son linealmente independientes, entonces no hay solución sauf cuando L1 y L2 están situados en un plano paralelo a L3 sin que ambos sean individualmente paralelos a L3. La dirección solución entonces es $\vec{S} = \vec{P}$ .
Este caso se produce si $\ ((\vec{P} - \vec{Q}) \times \vec{D_1}) \cdot \vec{D_3} = 0$ y $\ (\vec{D_3} \cdot \vec{D_1} ≠ 0\ $ o $\ \vec{D_3} \cdot \vec{D_2} ≠ 0)\ $ .

Todas las demás soluciones son linealmente independientes $\vec{D_1}$ , $\vec{D_2}$ y $\vec{D_3}$ en cuyo caso el solución es
$\vec{S} = \vec{P} + t_1\vec{D_1} + t_3\vec{D_3} = \vec{Q} + t_2\vec{D_2}$
para algunos $t_1$ , $t_2$ y $t_3$ .
$\vec{S} = \vec{P} + t_1\vec{D_1}$ y $\vec{Q} + t_2\vec{D_2}$ son entonces los puntos de intersección de L con L1 y L2 respectivamente.

Configuración

$\vec{P}= \begin{pmatrix} p_x \cr p_y \cr p_z \cr \end{pmatrix},\ \ \vec{Q}= \begin{pmatrix} q_x \cr q_y \cr q_z \cr \end{pmatrix}$ ,

$\vec{D_1}= \begin{pmatrix} x_1 \cr y_1 \cr z_1 \cr \end{pmatrix},\ \ \vec{D_2}= \begin{pmatrix} x_2 \cr y_2 \cr z_2 \cr \end{pmatrix},\ \ \vec{D_3}= \begin{pmatrix} x_3 \cr y_3 \cr z_3 \cr \end{pmatrix}$ ,

el sistema de ecuaciones a resolver es

$p_x + t_1 x_1 + t_3 x_3 = q_x + t_2 x_2$
$p_y + t_1 y_1 + t_3 y_3 = q_y + t_2 y_2$
$p_y + t_1 z_1 + t_3 z_3 = q_z + t_2 z_2$ .

Como ejemplo, en esta pregunta tenemos entonces

$t_1 - t_2 + 2t_3 = 1$
$2t_1 - 2t_2 + 7t_3 = -1$
$t_1 - 3t_2 + 3t_3 = 5$ ,

dando $\ \ t_1 = {1 \over 2}$ , $\ \ t_2 = -{5 \over 2}\ $ y $\ \ t_3 = -1$ ,
por lo que los dos puntos de intersección son

$\vec{S} = \vec{P} + t_1\vec{D_1} = \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \cr -2 \cr \end{pmatrix} + {1 \over 2} \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \cr 1 \cr \end{pmatrix} = {1 \over 2} \begin{pmatrix} 3 \cr 6 \cr -3 \cr \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} {3 \over 2} \cr 3 \cr -{3 \over 2} \cr \end{pmatrix}$
y
$\vec{Q} + t_2\vec{D_2} = \begin{pmatrix} 2 \cr 1 \cr 3 \cr \end{pmatrix} - {5 \over 2} \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \cr 3 \cr \end{pmatrix} = -{1 \over 2} \begin{pmatrix} 1 \cr 8 \cr 9 \cr \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -{1 \over 2} \cr -4 \cr -{9 \over 2} \cr \end{pmatrix}$ .