independencia lineal, espacios vectoriales

Question

¿es correcta mi prueba para la siguiente tarea?

Sea $f:V\to W$ sea una función lineal y $\{v_1,v_2,\dotso, v_n\}$ una base de $V$ >y $w_i\in W$ con $f(v_i)=w_i$ .

Sea $f$ sea inyectiva. Demostrar que los vectores $w_1, w_2,\dotso w_n$ son lineales >independientes.

Prueba:

Los vectores $w_1,\dotso, w_n$ son linealmente independientes, si

$k_1w_1+\dotso +k_nw_n=0\Rightarrow k_1=0, \dotso, k_n=0$ para $k_i\in K$

Lo es:

$k_1w_1+\dotso+k_nw_n=k_1f(v_1)+\dotso+ k_nf(v_n)=f(k_1v_1)+\dotso+f(k_nv_n)$ $=f(k_1v_1+\dotso k_nv_n)=0_W$

Desde $f$ inyectiva es

$k_1v_1+\dotso k_nv_n=0_V$ y como $\{v_1,\dotso, v_n\}$ es una base de $V$ , $v_1,\dotso, v_n$ son linealmente independientes.

Por lo tanto $k_1=0,\dotso, k_n=0$

$\square$

Gracias de antemano por sus comentarios.

Answer 1

Tu prueba me parece buena. Otra forma de demostrarlo es que $f$ es inyectiva si y sólo si $\ker f=0$ .

Supongamos que $$a_1f(v_1)+\dots+a_n f(v_n)=0$$

donde $a_i, \dots,a_j \neq 0$ para alguna colección de coeficientes anterior. Entonces $f(a_i v_i+\dots a_jv_j)=0$ lo que implica que $f$ tiene un núcleo no trivial.