problema de tirar hacia atrás y empujar hacia fuera

Question

¿podría ayudarnos con la prueba?

Si una categoría $K$ tiene retrocesos. Para morfismos componibles $f: A\to B$ et $g: B \to C,$ si $g$ et $f$ son epimorfismos extremos, demuestre que $gf$ es un epimorfismo extremo.

La definición de epimorfismo extremo que me han dado es:

Un morfismo $e: A \to B$ es un epimorfismo extremo cuando para cada diagrama conmutativo $e: A \to B,$ $f: A \to C$ , $m: C \to B$ ( $e= mf$ ) si $m$ es mónico, entonces $m$ es un isomorfismo.

He dejado $f = mk$ et $g = nh$ entonces he sacado los pullbacks de $f$ et $m,$ y de $g$ et $n$ .

No sé adónde ir a partir de aquí.

Answer 1

Sea $h:A\to X$ cualquier morfismo y $m:X\to C$ monic tal que $mh=gf$ . Queremos demostrar que $m$ es un isomorfismo.

Sea $P$ sea el pullback del diagrama $g:B\to C$ et $m:X\to C$ . Por la propiedad universal de los pullbacks existe un mapa $\alpha:A\to P$ . Denotemos por $m':P\to B$ et $g':P\to X$ los morfismos inducidos. Ahora $m'$ es mónico como el pullback de un morfismo mónico.

Porque $f$ es un epi extremo, $m'$ es una iso. Por lo tanto tenemos un morfismo $g'm'^{-1}:B\to X$ . Porque $g$ es un epi extremo, $m$ es una iso.

Edición: El hecho de que $m'$ es mónico no es del todo trivial. Tal vez quieras demostrarlo tú mismo.