Dada una base de $T_pM (e_i)$ . Extender esta base a un marco local ortonormal $(E_i)$ con $\nabla E_i (p) = 0 $

Question

Llevo casi 3 días con este problema, agradecería cualquier ayuda o idea:

Sea (M,h) una variedad riemanniana. Para cada $ p \in M $ et $ (e_1 , ... , e_n)$ base de $T_pM$ . Existe un marco ortonormal en una vecindad de p $(E_1, ... , E_n)$ con $E_i (p) = e_i$ et $\nabla E_i (p) = 0 $

Sugerencia: Fijar un marco ortonormal $(\overline E_i)$ cerca de p con $\overline E_i (p) = e_i$ y definir $E_i = \alpha_i^j\overline E_i $ con $(\alpha_i^j(x))_{ij} \in SO(n)$ et $\alpha_i^j(p)= \delta_i^j$ .

Lo que tengo:

La construcción de un marco ortonormal $(\overline E_i)$ cerca de p con $\overline E_i (p) = e_i$ . Se deriva del proceso Gram-Schmidt sin problemas.

Definición de $E_i= \sum_j \alpha_i^j\overline E_i$ el marco sigue siendo ortonormal, eso se deduce de un cálculo directo y del hecho de que $(\alpha_i^j(x))_{ij} \in SO(n)$ et $\overline E_i (p) = e_i$ porque $\alpha_i^j(p)= \delta_i^j$ .

Desde $h(E_i,E_j)= \delta_i^j$ entonces: $h(\nabla_X E_i, E_j) + h(E_i,\nabla_X E_j) = 0 $ .

Así que todo lo que tengo que ver es eso:

$h(\nabla_X E_i, E_j) = h(E_i,\nabla_X E_j) $

Escribir la ecuación anterior con la fórmula de koszul y hacer los cálculos, Utilizando la antisimetría del soporte de Lie y el hecho de que el producto interior es conmutativo:

$h(\nabla_X E_i, E_j) - h(E_i,\nabla_X E_j) = -h([E_i,E_j],X) $

Así que todo lo que tenemos que ver es que en p: $[E_i,E_j](p) = 0$

¡Que el corchete de Lie su 0 en p para la base construida de esta manera! He intentado justificar esto a partir de las propiedades del corchete de Lie, pero no he tenido suerte.

Answer 1

Elegir un sistema de coordenadas $\varphi = (x^1, \dots, x^n)$ en torno a $p$ con $p$ correspondiente a $(0,\dots,0)$ y definimos los símbolos de Christoffel del marco $\overline{E}_j$ con respecto al marco $\frac{\partial}{\partial x^i}$ por

$$ \nabla_i \overline{E}_j = \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \overline{E}_j = \Gamma_{ij}^k \overline{E}_k $$

(existe la convención de la suma). Queremos definir un nuevo marco $E_i = \alpha_i^j \overline{E}_j$ de modo que se cumplan las siguientes condiciones:

1. El marco $E_i$ es un marco ortonormal.
2. $E_i(p) = \overline{E}_i(p)$ .
3. $(\nabla_i E_j)(p) = \left( \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} E_j \right)(p) = 0$ para todos $1 \leq i, j \leq n$ .

Escribamos explícitamente las condiciones sobre la matriz $\alpha = (\alpha_i^j)_{i,j=1}^n$ para que se cumpla cada una de las condiciones siguientes:

1. La matriz $\alpha(q) = (\alpha_i^j(q))_{i,j=1}^n$ debe ser una matriz ortonormal para cada $q \in U$ (donde $U$ es la vecindad pertinente de $p \in M$ ).
2. $\alpha(p) = I_n$ (la matriz de identidad).
3. Debemos tener $$ (\nabla_i E_j)(p) = (\nabla_i (\alpha_j^k \overline{E}_k))(p) = \left( \frac{\partial \alpha_{j}^k}{\partial x^i} \overline{E}_k + \alpha_j^k \Gamma_{ik}^l \overline{E}_l \right)(p) = \\ \left( \frac{\partial \alpha_j^l}{\partial x^i}(p) + \alpha_j^k(p) \Gamma_{ik}^l(p) \right) \overline{E}_l(p) = 0$$ lo que implica que $$ \frac{\partial \alpha_j^l}{\partial x^i}(p) + \alpha_j^k(p) \Gamma_{ik}^l(p) = \frac{\partial \alpha_j^l}{\partial x^i}(p) + \delta_j^k \Gamma_{ik}^l(p) = \frac{\partial \alpha_j^l}{\partial x^i}(p) + \Gamma_{ij}^l(p) = 0 $$ para $ 1 \leq i,j,l \leq n$ . Si fijamos $\Gamma_i = (\Gamma_{ij}^k)_{j,k=1}^n$ se puede escribir como $$ \frac{\partial \alpha}{\partial x^i}(p) = -\Gamma_i(p) $$ para $1 \leq i \leq n$ .

Obsérvese que la matriz $\Gamma_i := (\Gamma_{ij}^k)_{j,k=1}^n$ es antisimétrica (ya que nuestra conexión es métrica).

Si fijamos

$$ \alpha(\varphi^{-1}(x^1, \dots, x^n)) := e^{-x^i \Gamma_i(p)} $$

entonces como la exponencial de una matriz antisimétrica es ortogonal, tenemos $(1)$ y por cálculo directo tenemos también $(2)$ et $(3)$ .

Answer 2

Pista: La tarea consiste en demostrar que se pueden elegir las funciones $\alpha^i_j$ de forma que se cumplan las condiciones, lo que equivale principalmente a fijar las derivadas en $x$ sin destruir el hecho de que la matriz $(\alpha^i_j)$ es ortogonal.

Mi forma preferida de resolver el problema no sería elegir un marco ortonormal y luego adaptarlo mediante la $\alpha^i_j$ sino utilizar el transporte paralelo para construir directamente un marco adecuado.

Answer 3

He aquí un enfoque diferente (relacionado con la sugerencia de Andreas Cap).

Tome un barrio normal $U$ de $p$ . Definimos $E_i$ de la siguiente manera: para $q\in U$ , dejemos que $v:=\exp_p^{-1}(q)$ et $\gamma_v$ sea la geodésica tal que $\gamma_v(0)=p$ et $\gamma_v'(0)=v$ . Defina $E_i(q)$ para ser el transporte paralelo de $e_i$ a través de $\gamma_v$ de $t=0$ a $t=1$ .

Por definición de transporte paralelo, tenemos $E_i(p)=e_i$ et $(\nabla_{\gamma_v'(t)}E_i)(\gamma_v(t))=0$ . En particular para $t=0$ , $\nabla_vE_i(p)=0$ para cualquier $v\in \exp_p^{-1}(U)$ . Utilización de la $\mathbb{R}$ -linealidad de $\nabla$ podemos reescalar $v$ para concluir $\nabla_X E_i(p)=0$ para cualquier $X\in T_pM$ .

Además, si $\{e_1,...,e_n\}$ es ortonormal, tenemos $\langle E_i(q),E_j(q)\rangle=\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$ ya que el transporte paralelo preserva el producto interior, por lo que $\{E_1,...,E_n\}$ es ortonormal en $U$ .

*Obs.: El transporte paralelo implica resolver una EDO. La suavidad de $E_i$ está garantizada por el teorema de la dependencia suave de las condiciones iniciales.