Demostrar que una función es una función modificadora (cómo demostrar la subaditividad)

Question

Esta es la definición de función modificadora con la que tengo que trabajar:

En este problema, una función $\phi :[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$ se denomina función modificadora si

• (a) $\phi (0)=0$
• (b) $\phi $ es estrictamente creciente
• (c) $\phi$ es subaditivo; es decir $\phi (s+t) \leq \phi (s)+\phi (t)$ para todos $s,t \in [0,\infty)$ .

Esto es lo que se supone que debo mostrar:

Demuestre que si $f:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ es una función diferenciable tal que

• (i) $f(0)=0$
• (ii) $f'$ es continua, estrictamente positiva y decreciente

entonces $f$ es una función modificadora.

(a) se cumple por definición.

(b) se cumple porque $f'$ es estrictamente positivo.

(c) Aquí es donde estoy atascado. Creo que debería ser capaz de demostrarlo utilizando alguna combinación del hecho de que $x\leq y \Leftrightarrow f(x)\leq f(y) \Leftrightarrow f'(x)\geq f'(y)$ pero no consigo nada. ¿Debería plantearme un enfoque diferente (y cuál sería)?

(c.1) Si pudiera demostrar que $f(tx)\geq tf(x)$ Sabría cómo demostrarlo.

Answer 1

$H(s,t)=f(s)+f(t)-f(s+t)$ aumenta tanto en $s$ et $t$ ya que sus parciales son $$H_s(s,t)=f'(s)-f'(s+t),\ \ H_t(s,t)=f'(t)-f'(s+t),$$ y también $s<s+t$ et $t<s+t$ y se supone que $f'$ disminuye. Creo que el resultado deseado se deduce de esto: Supongamos $s<t.$ Desde $H(0,t)=0,$ al aumentar la variable menor de $0$ a $s$ la observación anterior sobre los parciales muestra $H$ aumentará, forzando $H(s,t)\ge 0.$