Hallar la región crítica de la distribución exponencial

Question

La vida útil en horas de cada bombilla fabricada por una determinada empresa sigue una distribución exponencial independiente con media $ \theta $ . Para comprobar la hipótesis $ \ H_0 : 2000 $ frente a $ \ H_1 : 1000 $ un experimentador establece un experimento con 50 bombillas con 5 bombillas en cada una de 10 ubicaciones diferentes para examinar su vida útil. Para obtener resultados preliminares rápidos, el experimentador decide para detener el experimento tan pronto como una bombilla falla en cada lugar. Sea Y la vida útil de la primera bombilla que falla en la ubicación i, i = 1, 2, ..., 10 .

Obtener la prueba más potente de tamaño 0,05 para probar $ \ H_0 $ frente a $ \ H_1 $ en función de los tiempos de vida disponibles.

Mi intento con la ayuda de la pista proporcionada

Desde $ \ Y_i = min(\ X_1,\ X_2 ,\ X_3 ,\ X_4,\ X_5) $

$ P(min(X_1,...,X_p) < t) = 1 - P(min(X_1,...,X_p) > t)= 1 - P(X_1 > t, ..., X_p > t) $

$ 1 - (1 - P(X_1 < t) \times ... \times (1 - P(X_p < t)) = 1 - \left(1 - P(X_i < t)\right)^p $

Después de esto $ \ P(X_i < t) = \int_0^t e^-\theta d\theta $

$ \ 1- \ e^-t $ Ahora bien, si pongo este valor de cdf en la ecuación anterior

$ 1 - \left(1 - 1+ \ e^-t \right)^p $

$ 1 - e^-{p\theta} $

Ahora bien, si diferencio esta fdc para obtener la fdp de $\ Y_i $ entonces es $ exp(-p\theta) $

Aquí $ p = 5 $ Así que $\ Y_i $ ~ $ exp(-5\theta) $

$ \sum_{i=0}^{10} \ Y_i $ ~ $gamma(10,5\theta ) $

Answer 1

Esto parece una pregunta HW, así que intentaré no dar la respuesta completa. Dividir la pregunta en dos partes.

1. ¿Qué significa que informa de la hora de caída de la primera bombilla en el lugar? Eso significa que para la ubicación $i$ informa el $Y_i = min(X_1, ..., X_5)$ cómo se distribuye dado que $X_j \sim exp(\theta)$ ?

Hallaremos la función de distribución acumulativa:

$P(min(X_1,...,X_p) < t) = 1 - P(min(X_1,...,X_p) > t)= 1 - P(X_1 > t, ..., X_p > t)$

Ya que en la pregunta se nos da que las bombillas son independientes,

$1 - (1 - P(X_1 < t) \times ... \times (1 - P(X_p < t)) = 1 - \left(1 - P(X_i < t)\right)^p $

Desde $X_i \sim exp(\theta)$ ,

$1 - (1 - \exp(-p \theta))$

Por lo tanto, el mínimo de la vida de la bombilla

$Y_i \sim exp(p \theta)$

En la pregunta que has hecho, $p = 10$ ya que se informa de 10 localizaciones. A partir de aquí continúe encontrando la prueba MP utilizando la razón de verosimilitud (LR) y encuentre para qué estadística la LR es monótona y cómo se distribuye.

La suma de los v.r. exponenciales se distribuye como Gamma. Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution#Related_distributions