Rotación del segundo operador cuantizado en el espacio de Fock

Question

Estoy bastante familiarizado con la rotación en mecánica cuántica/clásica. Conozco la rotación para un operador $O$ o estado $|\psi \rangle$ actúa como:

$$O \rightarrow R O R^{-1} \\ |\psi \rangle \rightarrow R |\psi \rangle $$

Sin embargo, no entiendo cómo aplicar esto al segundo operador cuantizado, por ejemplo $c_{i \sigma} c_{j \sigma}^\dagger$ donde $\sigma$ es el índice de giro. Quiero decir ingenuamente puedo girar esto como un operador y así actúa como:

$$c_{i \sigma} c_{j \sigma}^\dagger \rightarrow R c_{i \sigma} R^{-1} R c_{j \sigma}^\dagger R^{-1}$$ donde $R \in SU(2)$ pero entonces $c$ se encuentra en un espacio diferente de $R$ . ¿Quizás se supone que debo hacer esto? $$R c_{i \sigma} R^{-1} = c_{i R\sigma R^{-1}}$$

Y si lo anterior es cierto, entonces tengo otra confusión: en mecánica cuántica, digamos estado de dos partículas, el único estado invariante en rotación es el singlete $\frac{1}{\sqrt{2}} |\uparrow \downarrow \rangle - | \downarrow \uparrow \rangle$ con $S(S+1) = 0$ por lo que análogamente creo que este operador también es invariante rotacional

$$c_{i \uparrow} c_{j \downarrow} -c_{i \downarrow} c_{j \uparrow} $$

¿pero este no es el único operador rotacional invariante? Porque parece que $c_{i \sigma} c_{j \sigma}^\dagger$ también es invariante.. ¿Es correcto lo que pienso?

En resumen, puede que esté confundido sobre cómo actúa la rotación en el espacio de Fock (para el segundo operador cuantizado) frente al espacio de Hilbert (para el estado de espín).

Answer 1

Centrémonos, como en tu pregunta, sólo en las rotaciones en el espacio de espín (la generalización al espacio real es sencilla). Entonces elegimos primero una base de operadores en 2ª cuantización, digamos $c_{i, \uparrow}, c_{i, \downarrow}$ y sus conjugados, que mantienen las relaciones canónicas de anticonmutación $$ \{ c_{i,\sigma}, c^{\dagger}_{j,\sigma '} \} = \delta_{i,j} \delta_{\sigma, \sigma '}$$ Una rotación en el espacio de espín será una transformación lineal dentro de esta base $$ R_{S_i} c_{i,\sigma} R^{-1}_{S_i} = a_r c_{i,\sigma} + b_r c_{i, \bar{\sigma}} $$ donde $\bar{\sigma}$ es el giro opuesto a $\sigma$ . Cómo llevar a cabo esta rotación es sencillo a partir de la construcción de los operadores de espín en segunda cuantización $$ S_{i}^{\alpha} = \frac{\hbar}{2} \sum_{\lambda, \lambda '} c^{\dagger}_{i,\lambda} \sigma^{\alpha}_{\lambda, \lambda '}c_{i,\lambda '}$$ con $\alpha = x,y,z$ para diferentes operaciones de giro en el punto $i$ y $\sigma^{\alpha}$ es la matriz de Pauli correspondiente. A partir de esto, se puede calcular explícitamente cómo se transforma cada operador, como $R_{S_i} = e^{-i \sum_\alpha \theta_\alpha S^{\alpha}/\hbar}$ .

El singlete que escribiste es el único estado rotacionalmente invariante para dos giros . La cuestión es que en la segunda cuantización no nos restringimos desde el principio a un número fijo de partículas, y permitimos que cambien. Podemos construir, sin embargo, operadores que sean invariantes bajo rotaciones locales de espín. Por ejemplo $c^{\dagger}_{i,\uparrow}c_{i, \uparrow} + c^{\dagger}_{i,\downarrow}c_{i, \downarrow}$ es un operador de este tipo, ya que sólo cuenta el número de partículas en el sitio $i$ y su rotación es irrelevante para ello.

Answer 2

Basándose en la respuesta de yu-v, considere una rotación simple alrededor del eje z mediante