Sea X un espacio de banach y $T:X \to X$ operador compacto con rango no finito. Quiero demostrar que $0 \in \overline{T(S_{X})}$ . mi idea es suponer que $0 \notin \overline{T(S_{X})}$ entonces si puedo demostrar que $T(X)$ es cerrado, porque puedo usar este resultado .
Mi problema ahora es demostrar que si $0 \notin \overline{T(S_X)}$ entonces $T(X)$ está cerrado, ¿Puede alguien ayudarme a mostrar esto?
Si $0\notin\overline{T(S_X)}$ entonces existe $\varepsilon>0$ tal que $T(S_X)\cap B_\varepsilon(0)=\varnothing$ . Por lo tanto $\lVert T(x)\rVert\geq\varepsilon\lVert x\rVert$ para todos $x\in X$ Así que $T$ es invertible a la izquierda. Pero eso significa $T(X)$ es cerrado y complementado en $X$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
