Teorema de la no mezcla de Macaulay

Question

Estoy intentando leer la obra de Matsumura y Monsky papel sobre los grupos de automorfismo de hipersuperficies, y no entiendo la parte siguiente en la página $3$ .

Sea $f(X)$ sea el polinomio homogéneo definitorio de nuestra hipersuperficie, y $f_i(X) $ derivada parcial de $f$ con respecto al $i$ componente. Tenemos $(f, f_{0}, \cdots, f_{n+1})=(f_{0}, \cdots, f_{n+1})$ utilizando la identidad de Euler y por la suposición de no singularidad de nuestra hipersuperficie este ideal tiene profundidad cero.
Definimos $\mathfrak{a}_i=(f_{0}, \cdots, \hat{f}_{i}, \cdots, f_{n+1}), 0 \leq i \leq n+1$ omitiendo $f_i$ y ver que esto tiene profundidad $1$ .
Ahora dice: "De esto y del teorema de la no mezcla de Macaulay se deduce que $\mathfrak{a}_{i}: f_{i}=\mathfrak{a}_{i} .$ "

Veo que el teorema de no mezcla es sobre alturas de primos asociados de $R/I$ para un ideal $I$ de un anillo noetheriano. Sin embargo, no veo cómo aplicarlo en este caso para obtener el resultado anterior. ¿Alguien puede darme más detalles? Gracias de antemano.

Answer 1

Has omitido decirnos qué es la profundidad. Aquí profundidad significa coheight, por lo que el coheight de $\mathfrak a_i$ es igual a 1, y por lo tanto su altura es $d$ donde $d$ es el número de variables menos 1. Si $f_i$ es un zerodivisor en $\mathfrak a_i$ entonces pertenece a un primo asociado. Se deduce que este primo contiene $(\mathfrak a_i,f_i)$ cuya altura es $d+1$ una contradicción con la no mezcla de $\mathfrak a_i$ .

Para demostrar que $\mathfrak a_i$ no está mezclado observe que su altura es igual a su número de generadores. Pero su altura es igual a su grado, ya que estamos en un anillo de polinomios sobre un campo, que es un anillo de Cohen-Macaulay, por lo que $\mathfrak a_i$ puede generarse mediante $d-1$ elementos que forman una secuencia regular. (De hecho, sus generadores, al ser homogéneos, forman una secuencia regular.) Por tanto $R/\mathfrak a_i$ es Cohen-Macaulay.