Para $G$ un grupo y $H\unlhd G$, $G$ es solucionable iff $H$ $G/H$ tienen solución?

Question

Recientemente he leído el bien conocido teorema que para un grupo de $G$ $H$ un subgrupo normal de $G$, $G$ tiene solución si y sólo si $H$ $G/H$ son resolubles. En mi libro, sólo el hecho de que $G$ es solucionable implica $H$ es solucionable fue probada. Yo era capaz de mostrar que si $H$ $G/H$ tienen solución, entonces también lo es $G$, pero yo no puedo demostrar que $G$ es solucionable implica $G/H$ es solucionable.

Mi idea era esta. Desde $G$ es solucionable, existe una normal abelian de la torre $$ G=G_0\supset G_1\supset\cdots\supset G_r=\{e\}. $$ Dejo $K_i=G_i/(H\cap G_i)$, en la esperanza de obtener una secuencia de $$ G/H\supset K_1\supset\cdots\supset K_r=\{e\}. $$ Mi corazonada es que el de arriba es normal que abelian de la torre. Sin embargo, estoy teniendo problemas para verificar que $K_{i+1}\unlhd K_i$ y $K_i/K_{i+1}$ es abelian.

Escrito $H_i=H\cap G_i$, aprovecho $gH_{i+1}\in K_{i+1}$ algunos $g\in G_{i+1}$. Si $g'H_i\in K_i$, a continuación quiero mostrarles $g'H_igH_{i+1}g'^{-1}H_i$ está todavía en $K_{i+1}$, pero la manipulación de los cosets me desconcertó. También trató de utilizar ya sea en el segundo o tercer teoremas de isomorfismo para mostrar que $K_i/K_{i+1}$ es abelian, pero no estoy claro sobre cómo aplicar exactamente. Yo estaría muy agradecida de ver cómo este resultado viene a través. Gracias.

Answer 1

Estás enfoque se ve bien para mí. Podría ayudar a reescribir $K_i = G_i/(H\cap G_i)$ en la forma $K_i = (G_i H)/H,$ así que tenemos una secuencia de grupos de $G_i H$ todo lo que contenga $H$, cuyos coeficientes están dando la $K_i$. Ahora para comprobar que $K_{i+1}$ es normal en $K_i$, sólo tienen que comprobar que $G_{i+1} H$ es normal en $G_i H$, que no es demasiado difícil de hacer. (Esencialmente, los cálculos con cosets que estaban dando problemas tienen todos envuelto de una vez por todas en el isomorfismo $G_i/(H\cap G_i) \cong (G_i H)/H$, and the coset computations with $G_{i+1} H$ inside $G_i H$ ser un poco más fácil.)

A ver que $K_i/K_{i+1}$ es abelian, puede volver a utilizar los teoremas de isomorfismo, para volver a escribir como $(G_i H)/(G_{i+1} H) \cong G_i/(G_{i+1} H \cap G_i).$ Usted debe ser capaz de ver que el último grupo es un cociente de $G_i/G_{i+1}$, y así, al ser un cociente de un grupo abelian, es abelian.

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Como observación general, cuando se estudia la imagen de un subgrupo de $G'$ bajo cociente mapa de $G \to G/H$, pasar de ida y vuelta entre las descripciones $G'/G'\cap H$ $G'H/H$ es un método estándar. La primera descripción ayuda a pensar acerca de el de la imagen como un cociente de un determinado subgrupo $G'$, mientras que el segundo descripción es útil para lo que pone en juego el hecho de que "el entramado de los subgrupos de $G/H$ corresponde a la celosía de subgrupos de $G$ contiene $H$" --- vuelve a escribir el la imagen como el cociente de un subgrupo que contiene $H$, y así ayuda a entender la inclusión de las relaciones y así sucesivamente entre diferentes imágenes como $G'$ varía.

Answer 2

Yo no puedo demostrar que $G$ es solucionable implica $G/H$ es solucionable.

$G$ tiene solución si y sólo si el proceso de $G_0 = G, G_i = [G_{i-1}, G_{i-1}]$ en varias ocasiones de la toma de colector subgrupos, finalmente, termina en el trivial grupo. Si se cancela después de $n$ pasos, esto es equivalente a decir que una palabra determinada hecho de $n$ niveles anidados que los conmutadores se desvanece de forma idéntica para cada elección de elementos de $G$, y esta propiedad se conservan automáticamente por homomorphisms $G \to G/H$ (así como la toma de subgrupos).