Prueba $k^7/7 + k^5/5 + 2k^3/3 - k/105$ es un número entero

Question

Intenté demostrarlo utilizando la inducción. Sea $k=1$ entonces la ecuación da

$$1/7 + 1/5 +2/3 – 1/105 = 105/105 = 1,$$

que es un número entero. Así que es cierto para $k=1$ . Ahora que sea cierto para $n>k$ . Esto da

$$105|(15n^7 + 21n^5 + 70n^3 – n).$$

Para $(n+1)$ tenemos

$$105|(15(n+1)^7 + 21(n+1)^5 + 70(n+1)^3 – (n+1)),$$

que es lo mismo que

$$105|(15n^7 + 105n^6 + 336n^5 + 630n^4 + 875n^3 + 945n^2 + 629n + 175)$$

desde $105|(15n^7 + 21n^5 + 70n^3 – n)$ .

Si $105|(105n^6 + 315n^5 + 630n^4 + 805n^3 + 945n^2 + 630n + 175),$

que es lo mismo que si $$105|((105n^6 + 315n^5 + 630n^4 +945n^2 + 630n) + 805n^3 + 175),$$

que es lo mismo que si $$105|((\text{multiple of } 105) + 805n^3 + 175).$$ Estoy atascado en esta parte, porque ni $805$ ni $175$ es múltiplo de $105$ entonces, ¿cómo demostrar que son múltiplos de $105$ ?

Answer 1

Creo que cometiste un error, y debería haber sido

$15n^7+105n^6+336n^5+630n^4+805n^3+735n^2+419n+105$

donde escribió $15n^7 + 105n^6 + 336n^5 + 630n^4 + 875n^3 + 945n^2 + 629n + 175$ ,

por lo que debería haber sido

$105n^6 + 315n^5 + 630n^4 + 735n^3 + 735n^2 + 420n + 105$

donde escribió $105n^6 + 315n^5 + 630n^4 + 805n^3 + 945n^2 + 630n + 175$ .

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

La función generadora es $$\sum_{k\ge 0} f(k)x^k=\frac{320}{(x-1)^3}+\frac{3672}{(x-1)^5}+\frac{1540}{(x-1)^4}+\frac{4584}{(x-1)^6}+\frac{1}{(x-1)}+\frac{2880}{(x-1)^7}+\frac{720}{(x-1)^8}+\frac{29}{(x-1)^2}$$ con $$f(k)=\frac12 k^7+\frac15 k^5+\frac23 k^3-\frac{1}{105}k$$ . Dado que todos los factores de este polinomio de $1/(x-1)$ son números enteros, todos $f(k)$ son números enteros.

Otro método de prueba es que el polinomio tiene la recurrencia $f(k) = 8f(k-1)-28f(k-2)+56f(k-3)-70f(k-4)+56f(k-5)-28f(k-6)+8f(k-7)-f(k-8)$ e iniciar una inducción en $k$ demostrando que los 8 primeros términos de $f(k)$ son números enteros. [Por supuesto la recurrencia es válida para cualquier polinomio $f(k)$ de orden 7 y los coeficientes binomiales con signo son una propiedad bien conocida de la recurrencia].