¿Cuántos elementos hacen falta para generar normalmente un grupo?

Question

Se trata de una pregunta terminológica (probablemente debería saberlo, pero no es así). Dado un grupo $G$ , considere la cardinalidad mínima $nr(G)$ de un conjunto $S \subset G$ tal que $G$ es el cierre normal de $S$ : $G = \langle\langle S \rangle \rangle$ (nr es la abreviatura de rango normal ). En otras palabras, ¿cuántos elementos de $G$ ¿necesitamos matar para producir el grupo trivial? ¿Cómo se llama este invariante? "Corank" y "normal rank" parecen significar otras cosas, y no estoy seguro de qué otros términos buscar.

Además, ¿qué métodos existen para obtener un límite inferior de $nr(G)$ digamos cuando $G$ está finitamente generada? Un límite inferior trivial en este caso es $rk(H_1(G))$ ya que es evidente que $nr(A)=rank(A)$ para $A$ un grupo abeliano finitamente generado. Se tiene $nr(G)\leq rank(G)$ ya que basta con matar un grupo electrógeno, y si $G\to H$ es una suryección, entonces $nr(G)\geq nr(H)$ .

Answer 1

Según, por ejemplo, el siguiente artículo de Gonzales-Acuna

http://www.jstor.org/pss/1971036

el menor número de elementos necesarios para generar normalmente un grupo $G$ se denomina peso de $G$ . Esta terminología se confirma en el libro

Invariantes algebraicas de los enlaces

por J. Hillman. También confirmo que el "corank" de $G$ suele denotar el mayor rango de un cociente libre de $G$ .

Answer 2

Lo que usted define como $nr(G)$ se conoce comúnmente como peso de un grupo, a menudo escrito $w(G)$ . En general, calcular el peso de un grupo finitamente generado, o incluso cualquier límite inferior razonable del peso, es muy difícil. Wiegold planteó el siguiente problema en 1976:

¿Es cierto que todo grupo perfecto finitamente generado es el cierre normal de un elemento? (es decir, tiene peso 1).

Este problema se encuentra en el apartado 5.52 del documento Cuaderno Kourovka : http://arxiv.org/abs/1401.0300

La pregunta de Wiegold es `verdadera' en el caso de grupos finitos, y también de grupos solubles. Véase M. Chiodo, Grupos finitamente aniquilados Bull. Austral. Math. Soc. 90 , n.º 3, 404-417 (2014). En particular, el corolario 5.7 establece:

Sea $n > 1$ y que $G$ sea un grupo finito o soluble. Entonces $w(G) = n$ si y sólo si $w(G^{ab}) = n$ y $w(G)=1$ sólo si $w(G^{ab})= 1$ .

-Maurice

Answer 3

Si $G$ está residualmente $p$ -finito o residualmente [localmente indicable amenable], entonces el peso de $G$ está limitada por debajo por $b_1^{(2)}(G)+1$ donde $b_1^{(2)}(G)$ indica el primer $\ell^2$ -Betti número de $G$ .

Conjeturo que esto es así para todos los grupos sin torsión, pero no sé cómo demostrarlo en general.

Answer 4

Aunque no responde directamente a tu pregunta, parece interesante considerar grupos en los que todo conjunto generador normal es ya un conjunto generador.

Al menos en el mundo finitamente generado, esto es equivalente a "todo subgrupo maximal es normal", que también es equivalente a $G' \leq \Phi(G)$ . Para grupos finitos, esto es equivalente a ser nilpotente, pero para grupos finitamente generados puede ser una condición estrictamente más débil que la nilpotencia (sin embargo, no conozco un ejemplo).

En cualquier caso, un grupo de este tipo (por ejemplo, cualquier grupo nilpotente f.g.) tiene necesariamente $\mathrm{nr}(G) = \mathrm{rank}(G)$ .