vector a matriz diagonal

Question

Para cualquier vector columna podemos crear fácilmente una matriz diagonal correspondiente, cuyos elementos a lo largo de la diagonal son los elementos del vector columna.

¿Existe alguna forma sencilla de escribir esta transformación utilizando operaciones estándar de álgebra lineal (como la multiplicación de matrices, etc.), en lugar de escribirla explícitamente como $diag(\mathbf{x})$ ?

Por ejemplo $M \mathbf{x}$ no puede funcionar para ninguna matriz M, ya que el resultado será un vector, no una matriz diagonal. Pero tal vez haya alguna expresión más elaborada que dé como resultado la matriz diagonal.

Answer 1

No estoy seguro de si responde a tu pregunta, pero aquí tienes un "procedimiento matricial" para transformar el vector columna $v$ en una matriz diagonal $D$ :

Sea $E_i$ sea el $n \times n$ matriz con un $1$ en posición $(i,i)$ y ceros en todos los demás lugares; de forma similar, sea $e_i$ sea el $1 \times n$ matriz de filas con un $1$ en posición $(1,i)$ y ceros en el resto. Entonces

$$D = \sum_{i=1}^n E_i v e_i .$$