Como consecuencia directa de la definición de $\lfloor x \rfloor $ Sé que $$2x-1 \lt \lfloor 2x \rfloor \le 2x$$ y $$2x-2 \lt 2\lfloor x\rfloor \le 2x$$ ¿Cómo puedo utilizarlos para demostrar que $-1 \lt \lfloor 2x \rfloor - 2 \lfloor x \rfloor \lt 2$ ? Estoy un poco oxidado con las desigualdades. Se agradece cualquier ayuda.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?$$-2x\le-2\lfloor x\rfloor<2-2x$$ Para el lado izquierdo de la desigualdad deseada, utilizando el lado izquierdo de la primera y la tercera desigualdad: $$\begin{align*} \lfloor2x\rfloor-2\lfloor x\rfloor &> (2x-1)-2\lfloor x\rfloor \\ &\ge (2x-1)-2x \\ &= -1 \end{align*}$$
Y lo mismo para la segunda desigualdad deseada.
Sea $n = \lfloor x\rfloor$ y $f=x-n = x-\lfloor x\rfloor$ es decir $x=n+f$ . Entonces $$\begin{align*} \lfloor 2x\rfloor-2\lfloor x\rfloor&= \lfloor 2n+2f\rfloor - 2\lfloor n+f\rfloor\\ &=2n+\lfloor 2f\rfloor - 2n\\ &= \lfloor 2f\rfloor \end{align*}$$ Desde $0\le f<1$ , $0\le 2f<2$ y luego $\lfloor 2f\rfloor$ sólo puede ser $0$ o $1$ .
Por lo tanto, tenemos un resultado más sólido: $$0\le\lfloor 2x\rfloor-2\lfloor x\rfloor\le1$$