Raíces de la unidad y polinomios ciclotómicos

Question

Sea $w$ sea una primitiva $p$ raíz de la unidad y consideremos la ecuación $$w^x+w^y+w^z=w^{x+y}+w^{y+z}+w^{z+x},$$ donde $x,y$ y $z$ son números enteros.

Los polinomios ciclotómicos pueden utilizarse para resolver muchos casos. Por ejemplo, para $p$ primo, una solución requiere el multiconjunto { $x,y,z$ sea de la forma { $0,t,-t$ }, módulo $p$ .

¿Existe una forma clara de resolver la ecuación para el general $p$ ?

Answer 1

Sea $e(x)=\exp(2\pi i x)$ y $U=e({\mathbb Q})$ . En $a=w^x,b=w^y,c=w^z$ su pregunta puede reformularse como : encontrar todos los $a,b,c\in U$ tal que

$$a+b+c=ab+ac+bc \tag{1}$$ .

Ahora, pon $u_1=a,u_2=b,u_3=c,u_4=-ab,u_5=-ac,u_6=-bc$ . Tenemos :

Teorema. Sea $u_1,u_2,\ldots,u_6 \in U$ . Entonces $u_1+u_2+\ldots +u_6=0$ si para alguna permutación $\sigma$ de $[|1..6|]$ y $v=(u_{\sigma(1)},u_{\sigma(2)},\ldots,u_{\sigma(6)})$ se cumple una de las dos condiciones siguientes :

(i) $v=(\rho_1,-\rho_1,\rho_2,-\rho_2,\rho_3,-\rho_3)$ con $\rho_1,\rho_2,\rho_3 \in U$

(ii) $v=(\rho_1,\rho_1 e(\frac{1}{3}),\rho_1 e(\frac{2}{3}), \rho_2,\rho_2 e(\frac{1}{3}),\rho_2 e(\frac{2}{3}))$ con $\rho_1,\rho_2 \in U$ .

(iii) $v=(\rho e(\frac{1}{5}),\rho e(\frac{2}{5}), \rho e(\frac{3}{5}), \rho e(\frac{4}{5}),-\rho e(\frac{1}{3}),-\rho e(\frac{2}{3}))$ con $\rho \in U$ .

Prueba : véase Henry B. Mann, "On linear relations between roots of unity", Mathematika 12(1965), pp.107-117.

Para fórmulas más cortas, pongamos $j=e(\frac{1}{3}),\eta=e(\frac{1}{5})$ . (i) da las siguientes soluciones a (1) :

$$ \lbrace a,b,c \rbrace = \lbrace x,-x,-x^{2} \rbrace, \lbrace 1,x,x^{-1} \rbrace, \ \textrm{or} \ \lbrace y_1,y_2,y_1y_2 \rbrace, \ \textrm{with} \ x\in U,y_1=\pm i, y_2=\pm i. \tag{2} $$

(ii) da la siguiente solución a (1) :

$$ \lbrace a,b,c \rbrace = \lbrace x,jx,j^2x\rbrace \ \textrm{or} \ \lbrace x,-j,-j^2\rbrace, \ \textrm{with} \ x\in U. \tag{3} $$

(iii) da las siguientes soluciones a (1) :

$$ \lbrace a,b,c \rbrace = \lbrace -\eta^x, j^{y}\eta^{2x},j^{y}\eta^{4x}\rbrace, \ \textrm{with} \ 1 \leq x \leq 4, 1\leq y \leq 2. \tag{4} $$