doble suma convergencia absoluta

Question

Intento demostrar o refutar la convergencia absoluta de la suma $\sum_\limits{k,l=1}^{\infty}\frac{k-l}{k^4+l^4} $ .

Cada serie que he encontrado que limita los valores absolutos de mi serie original por arriba diverge y cada serie que la limita por abajo converge, así que estoy atascado con respecto a la prueba de comparación.

Answer 1

Tenemos que $$ S := \sum_{k,l = 1}^{\infty} \frac{|k-l|}{k^4 + l^4} = \sum_{n=2}^{\infty} \sum_{k,l;\, k+l=n} \frac{|k-l|}{k^4 + l^4} \le \sum_{n=2}^{\infty} n \sum_{k,l;\, k+l=n} \frac{1}{k^4 + l^4}.$$ Ahora, observe que para cualquier $a, b \in \mathbb{R}$ tenemos $(a + b)^2 \le 2a^2 + 2b^2$ . Iterando, $$ (a+b)^4 \le [2a^2 + 2b^2]^2 = 4(a^2 + b^2)^2 \le 8(a^4 + b^4).$$ Por lo tanto, podemos escribir $$ S \le \sum_{n=2}^\infty n \sum_{k,l;\, k+l=n} \frac{8}{(k+l)^4} = 8\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} < \infty.$$