Existen diferentes variantes de la función de distribución de Planck:
- densidad espectral de la radiancia del cuerpo negro a lo largo de las frecuencias:
$$B_\nu(\nu,T)=\frac{2h\nu^3}{c^2}\frac1{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1},\tag1$$
- la misma densidad, pero sobre longitudes de onda:
$$B_\lambda(\lambda,T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac1{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}.\tag2$$
Se trata de diferentes densidades que deben integrarse sobre distintas cantidades para obtener la radiancia total en un rango espectral determinado: $B_\lambda$ debe integrarse en una gama de longitudes de onda, mientras que $B_\nu$ en una gama de frecuencias. Esto también se refleja en las dimensiones de estas densidades.
Si tiene, por ejemplo $B_\nu$ pero necesitas integrar sobre longitudes de onda, tendrás que utilizar un cambio apropiado de variables de integración. Por ejemplo, para obtener una radiancia total en el rango entre 400 nm y 500 nm, puedes integrar como
$$ R=\int\limits_{400\,\mathrm{nm}}^{500\,\mathrm{nm}} B_\nu(\nu,T)\,d\nu =\int\limits_{600\,\mathrm{THz}}^{749\,\mathrm{THz}} -\frac{d\nu}{d\lambda}\;B_\nu\left(\frac c\lambda,T\right)\,d\lambda \equiv\int\limits_{600\,\mathrm{THz}}^{749\,\mathrm{THz}} B_\lambda(\lambda,T)\,d\lambda. \tag3 $$
En la expresión central de arriba el signo menos es sólo por conveniencia, para que la integración vaya de menor frecuencia a mayor (y este menos también se mete en $B_\lambda$ en el lado derecho y en $(2)$ ).
¿Por qué necesitamos funciones diferentes para escalas diferentes? Porque en distintos puntos de la longitud de onda, un intervalo unitario de longitudes de onda tendrá distintos intervalos de frecuencias. Por ejemplo, consideremos el intervalo de 400 nm a 401 nm, cuya anchura es de 1 nm. Una vez halladas las frecuencias correspondientes, obtendremos respectivamente 749,5 THz y 747,6 THz, con una diferencia aproximada de 1,9 THz. Consideremos ahora el intervalo de 700 nm a 701 nm, también de 1 nm de anchura. Las frecuencias correspondientes son 428,3 THz y 427,7 THz, con una diferencia de unos 0,6 THz.
Ahora sí que se puede trazar, por ejemplo $B_\nu$ en un gráfico de longitud de onda como $B_\nu(c/\lambda,T)$ . Esto no sería erróneo, pero sí engañoso. Los lectores esperarían que la densidad representada correspondiera a la escala de los ejes, cuando en realidad no es así.
