Pregunta sobre exponentes racionales

Question

En un libro, la pregunta es la siguiente:

Así lo simplificó John $\sqrt[3]{16x^5}$ .
$\sqrt[3]{16x^5} = \sqrt[3]{8} \ \cdot \sqrt[3]{2x^5} = 2\sqrt[3]{2x^5}$
Explica el error en el trabajo de Juan y luego corrígelo.

Mi respuesta: ¿No tiene razón John? Es decir, \begin{align} \sqrt[3]{16x^5} & = \sqrt[3]{(2\cdot 8)\cdot x^5} \\ & = (2\cdot 8 \cdot x^5)^{1/3}\\ & = 2^{1/3}\cdot8^{1/3}\cdot x^{5/3} \qquad \text{from $(xy)^n = x^ny^n$ }\\ & = 8^{1/3}\cdot2^{1/3}\cdot x^{5/3} \qquad \text{just rearranging}\\ & = \sqrt[3]{8} \cdot (2x^5)^{1/3}\\ & = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2x^5} \qquad \text{which is the same with John's answer}\\ & = 2\sqrt[3]{2x^5} \end{align}

¿Me estoy perdiendo algo? Gracias por su ayuda.

Answer 1

Fui educador durante 20 años, enseñando matemáticas en secundaria a lo largo de toda mi carrera. Trabajando desde ese contexto, y suponiendo que el libro en cuestión era un libro de texto de matemáticas de la escuela secundaria (tal vez Álgebra 2), el error John fue dejar $x^5$ dentro del radical.

Para un estudiante de álgebra de bachillerato, la simplificación para se conseguiría de la siguiente manera.

$$\sqrt[3]{16x^5}$$ $$\sqrt[3]{8\cdot 2\cdot x^3\cdot x^2}$$ $$\sqrt[3]{8x^3}\sqrt[3]{2x^2}$$ $$2x\sqrt[3]{2x^2}$$ Aunque escribir la expresión utilizando exponentes racionales sería correcto, los estudiantes de secundaria y sus libros de texto generalmente no utilizan exponentes racionales.

Answer 2

La cuestión aquí es qué considera el autor una expresión simplificada. John no cometió ningún error, pero alguien diría que una expresión más simplificada sería $\sqrt[3]{16 x^5} = 2^{(\dfrac{4}{3})} \cdot x^{(\dfrac{5}{3})}$ .