Disculpe si es una pregunta ingenua. Deje que $f : X \to Y$ sea un morfismo de variedades sobre un campo $k$ y $\mathcal{F}$ una gavilla cuasi coherente en $X$ . Sé que para gavillas generales sobre espacios no se puede decir mucho sobre el tallo $(f_*\mathcal{F})_y$ en $y \in Y$ (hablemos sólo de puntos cerrados), pero ¿ocurre algo agradable en esta situación? Si $f$ es adecuada entonces la terminación del tallo se describe por el teorema de la función formal, pero estoy interesado en el tallo honesto.
Supongamos, por ejemplo, que $X = \text{Spec } A$ es afín (por tanto $\mathcal{F} = \widetilde{M}$ para algunos $A$ -módulo $M$ ) y que la fibra esquema-teórica de $f$ sobre el punto cerrado $y \in Y$ se reduce. Escribe esta fibra como una unión de componentes irreducibles $Z_1 \cup \cdots \cup Z_r$ correspondientes a ideales primos $\mathfrak{p}_1,\cdots,\mathfrak{p}_r \subset A$ por lo que existe un anillo semilocal asociado $S^{-1}A$ con $S = A \setminus (\mathfrak{p}_1 \cup \cdots \cup \mathfrak{p}_r)$ . Esperemos que aquí $(f_*\mathcal{F})_y$ es sólo $S^{-1}M$ considerado como un $\mathcal{O}_{Y,y}$ -a través del mapa natural $\mathcal{O}_{Y,y} \to S^{-1}A$ .
¿Tiene sentido? ¿Es cierto algo así cuando $X$ no es afín y/o la fibra no es reducida?
Edita: Como demuestra la respuesta de Georges, esto no puede ser cierto en general. Me pregunto si aún hay esperanza cuando $f$ ¿es apropiado? Mi ejemplo en los comentarios de abajo (el mapa de cuadratura $\mathbb{A}^1 \to \mathbb{A}^1$ con $\mathcal{F} = \mathcal{O}$ y $y = 1$ ) coincide con mi suposición anterior: $(f_*\mathcal{F})_y$ es la localización de $k[t]$ en $k[t^2] \setminus (t^2-1)k[t^2]$ . No es difícil ver que esto coincide con la localización en $k[t] \setminus ((t-1) \cup (t+1))$ es decir, el anillo semilocal en $\{ \pm 1 \}$ .
