Picard ' s pequeño teorema las pruebas

Question

Picard poco teorema dice que

Si existen dos números complejos $a,b$ tal que $f: \Bbb{C} \a \Bbb{C}\setminus \{a,b\}$ es holomorphic entonces $f$ es constante.

Estoy interesado en las pruebas de este teorema. Hasta ahora he encontrado al menos dos, uno en W. Rudin del Real y el Análisis Complejo y la otra en S. Krantz, Geométrico Teoría de la Función. Ambos necesitan un poco de preparación antes de que alguien no muy avanzado en el Análisis Complejo podría entender, especialmente la de S. Krantz del libro.

Mis preguntas son

1. Cuántas pruebas hay para Picard poco teorema? (referencias si es posible)

2. Hay un "simple" prueba de Picard a poco teorema? Simple significa que podría ser presentado a una audiencia que había un curso de un semestre en el análisis complejo.

Gracias.

Answer 1

Hay una esencia elemental prueba de que puede ser presentado a una audiencia de tener sólo un poco de fondo en el análisis complejo. Aparte de la milagrosa engaño y algunos simples estimaciones, los únicos ingredientes son de Cauchy de la integral de la fórmula y la existencia de holomorphic logaritmos simplemente conectado dominios.

Una mucho más completa exposición se puede encontrar en Remmert, Temas Clásicos en Función Compleja Teoría, Springer GTM 172 capítulo 10. Permítanme destacar: el siguiente es sólo un destilado de las piezas de Remmert el capítulo 10 del necesario para una prueba de Picard a poco teorema. Dicho capítulo contiene mucho más: una amplia histórico comentarios y referencias, las variantes de las pruebas y de los acontecimientos, las mejoras de los resultados, algunas buenas aplicaciones del teorema de Picard y culmina en una prueba de Picard del gran teorema.

Yo una vez presentado este argumento a un grupo de estudiantes talentosos en dos horas "especial de Navidad conferencia" y creo que funcionó bastante bien, pero hay que admitir que es ambicioso y el argumento es apabullante en varios puntos.

El ingrediente principal en la prueba de ello es la increíble:

Teorema (Bloch). Si $f$ es holomorphic en un barrio de la cerrada de la unidad de disco $\overline{\mathbb D}$ y $f'(0) = 1$, entonces $f(\mathbb{D})$ contiene un disco de radio $\frac{3}{2} - \sqrt 2 \gt 0$.

Remmert prefacios la sección que contiene este resultado por una declaración de J. E. Littlewood:

Uno de los queerest cosas en matemáticas, ... la prueba en sí es una locura.

Me voy a dar una prueba al final de esta respuesta.

La forma en que esta se aplica es:

Ejercicio. Si $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es holomorphic y no constante, entonces $f(\mathbb{C})$ contiene discos de radio arbitrario.

Sugerencia: Si $f'(0) \neq 0$ entonces $g(z) = \frac{f(rz)}{r |f'(0)|}$ satisface la hipótesis del teorema de Bloch.

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Hay un segundo complicado ingrediente activo, debido a Landau y refinado por König:

Deje que $G \subconjunto \mathbb{C}$ ser simplemente conectado dominio y dejar que $f: G \to \mathbb{C}$ se holomorphic. Si $f(G)$ no contiene $0$ y $1$ entonces hay una holomorphic $g: G \to \mathbb{C}$ tal que $$f = \frac{1}{2}\big(1+ \cos{(\pi\cos{(\pi g)})}\big).$$ Además, si $g$ es cualquier función $g(G)$ no no contienen un disco de radio uno.

Simple conexión se utiliza en el pretexto de la existencia de raíces y logaritmos de holomorphic funciones si se omite el valor de $0$. Demostremos primero que para una función $h$ en un simplemente conectado dominio $G$ tal que $\pm 1 \noen h(G)$ no es un holomorphic $H:G \to \mathbb{C}$ tal que $h = \cos{H}$: El truco es que $1-h^2$ cero, por lo tanto, no existe $k$ que $k^2 = 1-h^2$, por lo que $1 = h^2 + k^2 = (h+ik)(h-ik)$. Pero esto significa que $h+ik$ no tiene un cero, por lo que tiene un logaritmo: $h+ik = e^{iH}$ y por tanto $h = \frac{1}{2} e^{iH}+e^{-iH})$. Aplicando esto a $h = 2f-1$ (lo que deja fuera a los valores $\pm 1$ por hipótesis) se consigue una $F$ tales que $h=\cos{(\pi F)}$, pero $F$ debe dejar de lado todos los valores enteros en su gama, por lo tanto $F = \cos{(\pi g)}$ y la anulación de la construcción nos da la deseada $f=\frac{1}{2}\big(1+ \cos{(\pi\cos{(\pi g)})}\big)$.

"Por otra parte" la parte que sigue de la observación de que $g(G)$ no debe golpear el conjunto $$A = \left\{m \pm \frac{i}{\pi} \log{\big(n+\sqrt{n^2 - 1}\big)},\;m\in\mathbb{Z},\;n \in \mathbb{N}\smallsetminus\{0\}\right\}$$ ya que para que $a \in A$ tenemos $\cos{(\pi)} = (-1)^m \cdot$ n por un breve cálculo. Por lo tanto $\cos{(\pi\cos{(\pi)})} = \pm 1$, y si hay $z \in G$ que $g(z) \in A$ tendríamos $f(z) \in \{0,1\}$ que contradice la hipótesis. No es difícil convencer a sí mismo de que cada punto $w \in \mathbb{C}$ es dentro de la distancia de $\lt 1$ de un punto de $Un$ (una foto ayudaría!), por lo tanto $g(G)$ no puede contener un disco de radio $1$.

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Armados con estos dos ingredientes de la prueba de Picard a poco teorema es inmediata:

Picard poco teorema. Si existen dos números complejos $a,b$ tal que $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\smallsetminus \{a,b\}$ es holomorphic entonces $f$ es constante.

Prueba. Podemos suponer que $\{a,b\} = \{0,1\}$. Por la Landau–teorema de König tenemos $f(z) = \frac{1}{2}\big(1+ \cos{(\pi\cos{(\pi g)})}\big)$ $g$ cuya imagen no contiene un disco de radio $1$ y por el ejercicio de Bloch del teorema de $g$ debe ser constante.

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Ahora para la prueba del teorema de Bloch:

Lema. Deje que $f$ se holomorphic en un barrio de el cierre de la disco $D = B_r(una)$ y suponga que $|f'(z)| \lt 2|f'(a)|$ para $z \in D$. Poner $\rho = (3-2\sqrt{2})\cdot r \cdot |f'(a)|$ entonces $B_{\rho}(f(a)) \subconjunto f(D)$.

Prueba. Se asume que $a = f(a) = 0$ para la simplicidad de notación y escribir $C = \sup\limits_{z \in D}{\,|f'(z)|}$.

Pon $A(z) = f(z) - f'(0)\cdot z$. Entonces $A(z) = \int_{0}^{z} (f'(w) - f'(0))\,dw$, por lo que $$|A(z)| \leq \int_{0}^{1} |f(zt) - f'(0)|\,|z|,\, dt.$$ Por $d \D$ tenemos por Cauchy de la integral de la fórmula $$f'(d) - f'(0) = \frac{d}{2\pi i} \int_{|w|= r} \frac{f'(w)}{w(w-d)} \,dw,$$ por lo tanto $$|f'(d) - f(0)| \leq \frac{|c|}{r - |d|} C$$ y así $$|A(z)| \leq \int_{0}^{1} \left(\frac{|zt|}{r |zt|}C\right)|z|,\, dt \leq \frac{1}{2} \frac{|z|^2}{r - |z|} C.$$ Deje que $x = |z| \en (0,r)$ y observar que $|f(z) - f'(0)z| \geq |f'(0)| x |f(z)|$. La última desigualdad, junto con la hipótesis de $C \leq 2 |f'(0)|$ da $$|f(z)| \geq \underbrace{\left(x - \frac{x^2}{r - x}\right)}_{h(x)} |f'(0)|.$$ Ahora $h(x)$ asume su máxima de $(3 - 2\sqrt{2})r$ en el punto $\tilde{x} = (1-\frac{\sqrt{2}}{2})r$. Así, hemos demostrado que para $|z| = \tilde{x}$ tenemos $$|f(z)| \geq (3 - 2\sqrt{2})\cdot r \cdot |f'(0)| = \rho.$$ Pero esto implica que $B_{\rho}(f(0)) \supset f(B_{\tilde{x}}(0))$. Por qué? Esto es debido a que $B_{\tilde{x}}(0)$ es un dominio cuyo límite se asigna fuera de la bola de $B_{\rho}(f(0))$ $f$, $f(0) = 0$, ver aquí (1) en la parte inferior de la página para más detalles.

La prueba del teorema de Bloch. Suponga que $f$ es holomorphic en un barrio de la cerrada de la unidad de disco y suponga que $f'(0) = 1$. Considere la función $z \mapsto |f'(z)|(1-|z|)$. Adquiere su máximo en algún punto $p \in \mathbb{D}$. Poner $t = \frac{1}{2}(1-|p|)$ tenemos $B_{t}(p) \subconjunto \mathbb{D}$ y $1-|z| \geq t$ para todo $z \in B_{t}(p)$. Por lo tanto $|f'(z)|(1-|z|) \leq 2t|f'(p)|$ y por tanto $|f'(z)| \leq |f'(p)|$ para todo $z \in B_t(p)$. De ahí el lema nos da $B_{\rho}(f(p)) \subconjunto f(\mathbb{D})$ $\rho = (3-2\sqrt{2}) \frac{1}{2} t |f'(p)| \geq \frac{3}{2} - \sqrt{2}$.

Answer 2

El argumento básico detrás de Picard a poco teorema es la siguiente:

Si $D$ denota el abrir la unidad de disco en $\mathbb C$, entonces hay una holomorphic mapa $\pi: D \to \mathbb C\setminus \{a,b\}$, que es un cubriendo mapa en el sentido de la topología. (Otra manera de decir esto es que este mapa da una realización concreta de $D$ como la cobertura universal de $\mathbb C \setminus \{a,b\}$.)

Ahora si $f: \mathbb C \to \mathbb C\setminus \{a,b\},$ entonces, $\mathbb C$ simplemente se conecta, cubriendo el espacio de la teoría implica que $f$ levanta a una holomorphic mapa de $\tilde{f}: \mathbb C \D$, que luego debe ser constante, por Liouville.

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Si uno quiere presentar esta prueba en una clase, entonces la parte más difícil es construir el mapa de $\pi$. (El que cubre el espacio de los argumentos pueden ser realizados sin la apelación a la teoría general, en lugar de construir el mapa de $\tilde{f}$ concretamente a través de una integral de contorno.)

En la construcción de $\pi$, sin pérdida de generalidad, uno puede suponer que $\{a,b\} = \{0,1\}$. Uno puede también sustituir el disco $D$ por la mitad superior del plano (ya que son conformemente isomorfo). El mapa correspondiente de $\pi$ entonces fue descubierto por primera vez en el contexto de la teoría de las integrales elípticas modulares y funciones; de hecho, puede ser tomado como un cierto modular la función que tradicionalmente se denota $\lambda$. Mi memoria es que Rudin construcciones $\lambda$ por mano, y demuestra lo suficiente para tener el argumento anterior; sin embargo, me encontré con su argumento algo misterioso cuando leí por primera vez, porque la mayor parte del esfuerzo invertido en la construcción de $\lambda$, y no es terriblemente claro por qué existe, o por qué el teorema de los pivotes en este tipo de construcción.

Por otro lado, el mapa de $f$, también existe por razones generales, a saber, el teorema de uniformización. (La superficie de Riemann de $\mathbb C \setminus \{a,b\}$ ha negativa característica de Euler, por lo que su cobertura universal es la de abrir la unidad de disco.)

Por desgracia, el teorema de uniformización es probablemente fuera del alcance de una semseter complejo curso de análisis, y no sé una prueba del teorema de uniformización en este caso particular, que no dependen de la construcción explícita de $\lambda$. (Tal vez también vale la pena señalar que la teoría de modular las funciones tales como $\lambda$ jugó un importante papel histórico en el desarrollo de esa rama de la teoría de superficies de Riemann, que culminó en el teorema de uniformización.)

Answer 3

Hay una prueba en Ahlfors del libro "Análisis Complejo", en el capítulo sobre el global de las funciones analíticas. La prueba utiliza la continuación analítica, monodromy y teorema de modular la función "$\lambda$".

El monodromy teorema puede ser afirmado sin pruebas, si el público no está familiarizado con ella. El sistema modular de la función no es tan difícil de definir. Además, esta prueba es de utilidad en la clase de los métodos que utiliza.

Voy a escribir en una versión sucinta de esta prueba cuando tengo más tiempo. Por ahora, la referencia es el capítulo 8, thm 5. Si alguien sabe cómo vincular a la búsqueda de libros de google o algún lugar, va a ser aún mejor.

Answer 4

Hay una prueba de que hace uso de cubrir espacios, que es muy simple. Hay una forma de demostrar que $j: \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ (el llamado de Weierstrass $j$ la función [es una forma modular]) es una cubierta espacio de $\mathbb{C} \setminus \{ a,b\}$. Entonces, si usted demuestra que cualquier holomorphic función $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\setminus \{ a,b\}$, admite una elevación a un holomorphic función $\tilde{f}: \mathbb{C} \to \mathbb{D}$, entonces por la definición de la integral de Asignación Teorema (que indica que el disco es de conformación de la cubierta del espacio de $\mathbb{C}\setminus \{a,b\}$) y por el Teorema de Liouville (que establece que toda función que no es acotada es constante), a la conclusión de que $j^{-1}\circ f = \tilde{f}$. Una vez $j$ es una proyección (de ahí holomorphic) y $j^{-1}\circ f : \mathbb{C} \to \mathbb{D}$ es limitado y holomorphic, de la siguiente manera, de Liouville, que $j^{-1}\circ f$ es una función constante un , digamos $j^{-1}\circ f(z)= \tilde{f}(z) = c, \forall z \in \mathbb{C}$. Entonces $f(z) = j(c), \forall z \in \mathbb{C}$. Por lo tanto, $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\setminus \{a,b\}$ debe ser la función constante.

Answer 5

Hay una inteligente prueba usando funciones armónicas en libro de Ransford Teoría del potencial en el plano complejo.

La prueba es originalmente por John Lewis. Su papel es aquí. Tenga en cuenta que también incluye un breve estudio de otros métodos de prueba.