Estoy tratando de entender la gavilla dualizante $\omega_C$ en una curva nodal $C$ En particular, ¿por qué $H^1(C,\omega_C)=k$ donde $k$ es el campo de tierra algebraicamente cerrado. Sé que esta gavilla se define como el push-forward de la gavilla de diferenciales racionales en la normalización $\tilde{C}$ de $C$ con a lo sumo polos simples en los puntos situados sobre los puntos nodales de $C$ y tal que la suma de los residuos en los dos puntos situados sobre el nodo será cero. Puedo demostrar que se trata de una gavilla invertible en $C$ , pero no tengo ni idea, a pesar de mis muchos intentos, de cómo demostrar que $H^1(C,\omega_C)=k$ . He podido demostrarlo en algunos casos muy sencillos utilizando la cohomología de Cech, pero ¿alguien puede explicarme cómo hacerlo en general?
Respuesta
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Si $\tilde{C}$ es la normalización, con dos puntos $x$ y $y$ identificarse en el mapa $\pi: \tilde{C} \to C$ al nodo $z$ de $C$ entonces tenemos una secuencia exacta $$0 \to \Omega^1_{\tilde C} \to \Omega^1_{\tilde C}(x + y) \to k_x \oplus k_y \to 0,$$ donde $k_x$ y $k_y$ son las poleas rascacielos en los puntos $x$ y $y$ . Empujando hacia adelante (que es exacta porque el mapa $\pi$ es finito y, por tanto, afín) obtenemos una secuencia exacta $$0 \to \pi_* \Omega^1_{\tilde C} \to \pi_*\Omega^1_{\tilde C}(x+y) \to k_z^{\oplus 2} \to 0.$$ Ahora hay una secuencia exacta corta $0 \to k_z \to k_z^{\oplus 2} \to k_z \to 0$ , donde la tercera flecha viene dada por la suma de los dos componentes, y $\omega_C$ es la preimagen de (la primera copia de) $k_z$ bajo el suryecto $\pi_* \Omega^1_{\tilde C}(x+y) \to k_z^{\oplus 2}$ . En conclusión, tenemos una secuencia exacta $$0 \to \pi_* \Omega^1_{\tilde C} \to \omega_{C} \to k_z \to 0.$$
Tomando ahora la cohomología (y recordando que $H^i(C,\pi_*\mathcal F) = H^i(\tilde{C},\mathcal F)$ para una gavilla coherente en $\tilde{C}$ ), obtenemos $$0 \to H^0(\tilde{C},\Omega^1_{\tilde C}) \to H^0(C,\omega_C) \to H^0(C,k_z) \to H^1(\tilde{C},\Omega^1_{\tilde C}) \to H^1(C,\omega_C) \to 0.$$ (La cuestión es que $H^1$ de una gavilla de rascacielos como $k_z$ desaparece).
Afirmo que en esta secuencia exacta el mapa $H^1(\tilde{C},\Omega^1_{\tilde C}) \to H^1(C,\omega_C)$ es un isomorfismo, y por tanto que esta última es unidimensional, ya que la primera lo es.
Para ello, es equivalente demostrar que el mapa $H^0(C,\omega_C) \to H^0(C,k_Z) = k$ es suryectiva.
Ahora $H^0(C,\omega_C) \subset H^0(C,\pi_*\Omega^1_C(x+y)) = H^0(\tilde{C},\Omega^1(x+y)).$ El teorema del residuo muestra que podemos encontrar una diferencial $\omega \in H^0(\tilde{C},\Omega^1(x+y))$ cuyos residuos en $x$ y $y$ son distintos de cero. (Estos residuos son entonces negativos entre sí). Considerado como una sección de $H^0(C,\pi_*\Omega^1_C(x+y))$ este diferencial $\omega$ reside claramente en $H^0(C,\omega_C)$ . Su imagen bajo el mapa $H^0(C,\omega_C)$ es distinto de cero (igual a el residuo en $x$ o en $y$ en función de una elección que se ha hecho implícitamente más arriba), y por tanto $H^0(C,\omega_C) \to k$ es suryectiva.
Resumen: El teorema del residuo garantiza la existencia de secciones de $H^0(C,\omega_C)$ que tienen residuos distintos de cero en $x$ y $y$ cuando se tira hacia atrás para $\tilde{C}$ y esto a su vez demuestra que $H^1(C,\omega_C)$ es isomorfo a $H^1(\tilde{C},\Omega^1_C)$ , y, por tanto, es unidimensional.
