Representaciones del producto tensorial de $\text{sl}(2;\mathbb{C})$

Question

Defina $V_m$ como el espacio de todos los polinomios homogéneos en dos variables complejas de grado $n$ .

Entonces podemos definir una representación de $SU(2)$ en el espacio $V_m$ mediante la fórmula

$$[\Pi_m(U)f](z) = f(U^{-1}z).$$

Podemos entonces definir la representación del álgebra de Lie de $\text{su}(2)$ mediante la fórmula

$$\pi_m(X) = \left. \frac{d}{dt}\Pi_m(e^{tX}) \right |_{t=0}$$

que resulta ser

$$\pi_m(X)f = -\frac{\partial f}{\partial z_1}(X_{11} z_1+ X_{12} z_2) - \frac{\partial f}{\partial z_2}(X_{21}z_2 + X_{22}z_2).$$

Resulta que esta representación se extiende a una representación de $\text{sl}(2;\mathbb{C})$

Ahora tenemos dos formas de interpretar la representación del producto tensorial $\pi_m \otimes \pi_m$ .

1) Podemos definir $\pi_m \otimes \pi_m$ como representación de $\text{sl}(2;\mathbb{C}) \oplus \text{sl}(2;\mathbb{C})$ actuando sobre $V_m \otimes V_m$ por $$\pi_m \otimes \pi_m (X,Y) = \pi_m(X) \otimes I + I \otimes \pi_m(Y)$$

2) También tenemos $\pi_m \otimes \pi_m$ como representación de $\text{sl}(2;\mathbb{C})$ actuando sobre $V_m \otimes V_m$ definido por

$$\pi_m \otimes \pi_m (X) = \pi_m(X) \otimes I + I \otimes \pi_m(X)$$

El ejercicio consiste en demostrar que $V_1 \otimes V_1$ como representación de $\text{sl}(2;\mathbb{C})$ (nuestra segunda interpretación) es reducible, mientras que como representación de $\text{sl}(2;\mathbb{C}) \oplus \text{sl}(2;\mathbb{C})$ (la primera interpretación) es irreducible.

Creo, en la primera interpretación, que $\pi_1(X) \otimes \pi_2(Y)$ es irreducible si y sólo si $\pi_1(X)$ y $\pi_2(Y)$ son irreducibles. ¿Es esto cierto?

No puedo demostrar inmediatamente que la segunda es reducible. Supongo que lo es porque tenemos $\pi_1(X) \otimes I$ y $I \otimes \pi_1(X)$ (a diferencia de $X$ y $Y$ ). ¿Alguna pista?

Answer 1

Los resultados que intentas mostrar se aplican a cualquier álgebra de Lie semisimple. Se puede demostrar el primer hecho utilizando la teoría de caracteres, véase, por ejemplo, el teorema 3.9 aquí: http://books.google.com/books?id=F3NgD_25OOsC&lpg=PR1&dq=compact%20lie%20groups&pg=PA50#v=onepage&q&f=false .

La segunda es más fácil de demostrar y, de hecho, funciona para las repeticiones de cualquier grupo. Una pista: existe una descomposición canónica de $V\otimes V$ como $T_1 \oplus T_2$ . Entonces es fácil demostrar (para esta descomposición particular) que cualquier producto tensorial rep preservará los sumandos.

Answer 2

He aquí un cálculo directo de (2) para demostrar que es reducible. Denotemos por $H,X,Y$ la base habitual para el álgebra de Lie real $\mathfrak{sl}_2(\Bbb{C})$ es decir

$$H = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right), X = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right), Y = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).$$

Ahora sabemos, por ejemplo, que $\pi_1(X)$ es el operador lineal $-z_2\frac{\partial}{\partial z_1}$ actuando sobre $V_1$ . Así que en general encontramos que en la base $z_1,z_2$ de $V_1$ encontramos las matrices para $\pi_1(X),\pi_1(Y)$ y $\pi_1(H)$ ser

$$\begin{eqnarray*} \pi_1(X) &=& \left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\\ \pi_1(Y) &=& \left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\\ \pi_1(H) &=& \left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right). \end{eqnarray*}$$

Entonces encontramos que las matrices para $\pi_1\otimes \pi_1$ de $H,X,Y$ en la base $e_1 \otimes e_1, e_1\otimes e_2,e_2\otimes e_1, e_2 \otimes e_2$ son

$$\begin{eqnarray*} (\pi_1 \otimes \pi_1)(X) &=& \left(\begin{array}{cccc} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), \\ (\pi_1 \otimes \pi_1)(Y) &=& \left(\begin{array}{cccc} 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 &0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), \\ (\pi_1 \otimes \pi_1)(H) &=& \left(\begin{array}{cccc} -2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right). \\ \end{eqnarray*}$$

Se puede ver que el tramo del vector $e_1\otimes e_1$ es invariante bajo la acción de cada elemento de $\mathfrak{sl}_2(\Bbb{C})$ mostrando que la representación $V_1 \otimes V_1$ es reducible.