Hallar la suma de estas dos series infinitas

Question

Encuentro la secuencia de sumas parciales, pero no encuentro el término general. Sé que una vez que encuentro el término general de la secuencia de sumas parciales, tomo el límite de eso y ese número es la suma de la serie. Simplemente no puedo encontrar un patrón en ninguno de estos.

Su ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que

• $\sum \frac{2}{n^2+4n+3}=\sum \frac{1}{n+1}-\sum\frac{1}{n+3}$ y muchos términos se anulan
• $\sum \frac{1+2^n}{3^n}=\sum \left(\frac13\right)^n+\sum \left(\frac23\right)^n$ y se refieren a series geométricas

Answer 2

Para ampliar la sugerencia del comentario, escriba la primera suma como $$ \sum \left(\frac{A}{n+B} - \frac{C}{n+D}\right) $$ y aplicar series telescópicas. Para la segunda, observe que $$ \frac{1+2^n}{3^n} = \frac{1}{3^n} + \frac{2^n}{3^n} = (1/3)^n + (2/3)^n $$