Si $f(x+1) = x^2 + 3x +5$ entonces halle $f(x)$

Question

Un problema de la clase de precalculo. No sé qué hacer con el de $f(x+1)$ Podría completar el cuadrado, pero entonces, ¿cómo puedo encontrar ? $f(x)$ ? Me he quedado atascado en esto.

Answer 1

Pista:

$$f(x+1)=x^2+3x+5=(x+1)^2+(x+1)+3$$

Answer 2

Con la sustitución $x = u - 1$ la identidad dada se traduce en:

$$f((u-1) + 1) = (u-1)^2 + 3 (u-1) + 5$$

$$f(u) = u^2 -2 u + 1 + 3 u - 3 + 5 = u^2 + u + 3$$

Dado que el nombre de la variable es intrascendente en la definición de una función, esto es lo mismo que:

$$f(x) = x^2 + x + 3$$

Answer 3

Sólo para ser diferente.

$$f(x+1) = x^2 + 3x + 5$$

\begin{align} f(x) - f(x+1) &= f((x-1)+1) - f(x) \\ &= (x-1)^2 + 3(x-1) + 5) - (x^2 + 3x + 5) \\ &= ((x-1)^2 - x^2) + (3(x-1) - 3x) + (5-5) \\ &= (x-1-x)(x-1+x) - 3\\ &= (-1)(2x-1) - 3 \\ &= -2x - 2 \end{align}

Así que $f(x) = f(x+1) - 2x - 2 = x^2 + x + 3$

prueba por inducción

No es descabellado suponer que $f(x) = x^2 + ax + b$ para algunos números reales $a$ y $b$ . Podemos utilizar el razonamiento inductivo para demostrar que esto es así y hallar los valores de $a$ y $b$ al mismo tiempo.

Nuestra hipótesis será $f(x) = x^2 + ax + b$ para algunos números reales $a$ y $b$ .

$f(0) = f(-1+1) = (-1)^2 + 3(-1) + 5 = 3$ Según nuestra hipótesis, $f(0) = b$ . Por lo tanto $b = 3$

Así que nuestra hipótesis es ahora $f(x) = x^2 + ax + 3$

De nuevo, según nuestra hipótesis, $f(x+1) = (x+1)^2 + a(x+1) + 3$ Por lo tanto \begin{align} x^2 + 3x + 5 &= (x+1)^2 + a(x+1) + 3 \\ x^2 + 3x + 5 &= (x^2+2x+1) + (ax + a) + 3 \\ x^2 + 3x + 5 &= x^2 + (2 + a)x + (a + 4) \\ \end{align}

Y vemos que esto es cierto cuando $a = 1$ .

Por lo tanto, por inducción matemática, $f(x) = x^2 + x + 3$ .

Ahora que lo miro, me doy cuenta de que sólo he demostrado que $f(n) = n^2 + n + 3$ para $n = 0, 1, 2, \dots$ . Sin embargo, es cierto que tres puntos determinan de forma unívoca una parábola. Y tenemos concordancia en un número infinito de puntos. Así que esto sigue siendo una prueba.

Answer 4

$x^2+3x+5=x^2+2x+1+x+4=(x+1)^2+x+4=(x+1)^2+(x+1)+3$

Así que $f(x)=x^2+x+3$

Answer 5

Pregúntese: "¿Cuáles son las operaciones que necesito realizar en $x+1$ para obtener $x^2+3x+5$ ?".

$$\begin{align} f(x+1) &= x^2 + 3x +5\\ &= ((x+1) - 1)^2 + 3((x+1)-1) +5\\ \end{align}$$

Ahora, supongamos que $u = x+1$ entonces $$f(u) = (u-1)^2 +3(u-1)+5 = u^2+u+3$$

Evaluación de $f$ En cambio, en $x$ tenemos $$f(x) = x^2+x+3$$