Convergencia en la probabilidad de $p^{\text{th}}$ estimador cuantílico para muestra iid $X_1, \ldots X_n$ de Distribución exponencial dada por $f(x, \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$
En $p^{\text{th}}$ viene dado por $\theta = F^{-1}(p)$ donde $p\in(0,1)$ y $F$ es la FCD.
Encontré que para la distribución exponencial, $\theta = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda}$ y el estimador MLE $\hat{\theta} = -\ln(1-p) \bar{x}$ .
¿Cómo puedo utilizar esto para demostrar que $\hat{\theta} \to^{P} \theta$
¿Es correcto el siguiente método?
$$\bar{x} \to^P E(X_1) = \frac{1}{\lambda} \;\;\;\;\text{(From Weak Law of Large Numbers)}$$
$$\Rightarrow \bar{x} \to^{d} \frac{1}{\lambda} \;\;\;\;\text{(Convergence in probability implies convergence in distribution)}$$
$$\Rightarrow -\ln(1-p)\bar{x} \to^{d} -\frac{\ln(1-p)}{\lambda} \;\;\;\;\text{(Using Slutky's theorem)}$$
$$\Rightarrow -\ln(1-p)\bar{x} \to^{p} -\frac{\ln(1-p)}{\lambda} \;\;\;\;\text{(Convergence in distribution to a constant implies convergence in probability)}$$
No estoy seguro sobre el último paso, ¿es correcto que $-\frac{\ln(1-p)}{\lambda} $ ¿es una constante?
