Problemas para demostrarlo $\dim{(W1+W2)}=\dim{(W1)}+\dim{(W2)}-\dim{(W1\cap W2)}$

Question

Permítanme resumir primero la parte que entiendo:

$\dim{W_1}=n$ , $\dim{W_2}=m$ , $\dim{(W_1\cap W_2)}=k$
He definido $C$ como base para $W_1\cap W_2$ con $C = \{v_1, ... v_k\}$ .
He ampliado $C$ a una base $B_1$ para $W_1$ y $B_2$ para $W_2$ :
$B_1 = \{v_1, ... v_k, w_1, ..., w_{n-k}\}$
$B_2 = \{v_1, ... v_k, z_1, ..., z_{m-k}\}$
$B = \{v_1, ... v_k, w_1, ..., w_{n-k}, z_1, ..., z_{m-k}\}$

Ya he demostrado que $B$ es un conjunto generador, ahora necesito demostrar que es linealmente independiente y eso contiene la parte que no entiendo:

Define lo siguiente:
$v=\alpha_1v_1+...+\alpha_kv_k\in W_1\cap W_2$
$w=\beta_1w_1+...+\beta_{n-k}w_{n-k}\in <w_1,...,w_{n-k}> \leq W_1$
$z=\gamma_1z_1+...+\gamma_{m-k}z_{m-k}\in <z_1,...,z_{m-k}> \leq W_2$
Digamos que $v+w+z=0$ y así $v+w=-z\in W_1\cap W2$ lo que significa que $z\in (W_1\cap W_2)\cap <z_1, ..., z_{m-k}>$

No entiendo la parte justo después de $v+w=-z$ . ¿Por qué es un elemento de esa colección? ¿Y por qué la inversa forma parte de otra colección?

Answer 1

Tenemos $v\in W_1$ y $w\in W_1$ así que $v+w=-z\in W_1$ desde $W_1$ es un subespacio por lo que es cerrado por adición. Pero como $z\in W_2$ entonces $z\in W_1\cap W_2$ . Finalmente tenemos $$z\in W_1\cap W_2\cap\langle z_1,\ldots,z_{m-k}\rangle=\{0\}$$ y luego $$z=0\implies v=-w=0$$