Demostrar la igualdad de dos productos infinitos

Question

Esta pregunta es esencialmente la misma que esta pregunta mía anterior . Sin embargo, dado que las funciones theta de Jacobi podrían inducir a error en el título, en lo que sigue me limito a formular la pregunta exacta sin antecedentes previos.

¿Cómo demostrar la siguiente igualdad?

$$\prod_{n=1}^\infty(1-q^{2n-1})=\prod_{n=1}^\infty\left(\frac{1-q^n}{1-q^{2n}}\right)$$

$q=e^{2\pi i \kappa}$ para algunos $\kappa\in\mathbb{C}$ se puede suponer.

Answer 1

Gracias a una pista de Qiaochu Yuan la solución se vuelve completamente trivial. Multiplicando ambos lados por $\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n}\right)$ tenemos

$$\prod_{n=1}^\infty(1-q^{2n-1})\left(1-q^{2n}\right)=\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{n}\right)$$

En el lado izquierdo, el primer corchete sondea términos con $(1-q^{\text{odd}})$ mientras que el segundo soporte sondea $(1-q^{\text{even}})$ . Si se multiplican ambos, se obtiene el lado derecho.