Conjunto incontable de clases de equivalencia incontables

Question

Estoy tratando de encontrar $A/\sim$ un conjunto $A$ con una relación de equivalencia $\sim$ tal que el conjunto de clases de equivalencia es incontable y las clases de equivalencia contienen una cantidad incontable de elementos.

Ya lo he intentado con $A = \Bbb{R}$ y $x \sim y := x - y \in \Bbb{Z}$ . Las clases de equivalencia son los conjuntos de reales con la misma parte fraccionaria. Se puede demostrar que $A/ \sim = [0,1)$ . Que es fácil demostrar que es incontable con una inyección $f: \{0,1\}^{\infty} \to [0,1)$ (este es el método estándar que utilizo para demostrar que un conjunto es incontable).

Sin embargo, creo que todos los elementos de mis clases de equivalencia son contables, ya que son todos números naturales más una parte fraccionaria específica. ¿Estoy en lo cierto al pensar así, hace que mi ejemplo sea falso? En caso de que sea falso, ¿hay alguna forma de "arreglarlo"?

Answer 1

En $\mathbb{R}^2$ define $(x,y) \sim (a,b)$ si $x = a$ . Las clases de equivalencia son copias de $\mathbb{R}$ y hay " $\mathbb{R}$ " de ellos (uno por $x \in \mathbb{R}$ ).

Answer 2

Tienes razón en que tienes incontablemente muchas clases de equivalencia, pero cada clase de equivalencia es sólo contablemente infinita.

Es más fácil encontrar relaciones con incontables clases incontables en el plano $\Bbb R^2$ .

También puede ser más fácil hacer el "camino inverso". Construir primero las clases de equivalencia como una colección incontable de conjuntos incontables y disjuntos, y definir la relación como "Dos elementos están relacionados si están en el mismo conjunto".

Answer 3

Las otras respuestas ya han dado ejemplos concretos. Aquí tienes algo más abstracto que puedes hacer. Sea $I$ sea cualquier conjunto incontable y sea $\{A_i\}_{i \in I}$ sea una colección de conjuntos incontables. Definir el $$A := \{(a, i) : i \in I, a \in A_i\}.$$ En otras palabras, lo anterior es la unión disjunta $\sqcup_{i \in I} A_i$ . Defina la relación $\sim$ en $A$ por $$(a, i) \sim (b, j) \Leftrightarrow i =j.$$ Entonces, las clases de equivalencia son precisamente las copias de $A_i$ es decir, $A/{\sim} = \{A_i \times \{i\} : i \in I\}$ .

En cierto sentido, ésta es la forma más general de obtener un conjunto incontable de clases de equivalencia incontables.