Demuestre que $\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}e^{-xt}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}-\arctan(t)$ ; $t>0$

Question

Hice esto

Sea $I=\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}e^{-xt} \,dx$

Entonces, $\frac{\partial I}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t} \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}e^{-xt}\,dx=\int_0^\infty\frac{\partial}{\partial t}\frac{\sin(x)}{x}e^{-xt}\,dx$ (<- ¿por qué puedo hacer esto?) $=-\int_0^\infty \sin(x)e^{-xt}\,dx=-([-\cos(x)e^{-xt}]_0^\infty-t\int_0^\infty \cos(x)e^{-xt}\,dx)=-(1-t\int_0^\infty \cos(x)e^{-xt}\,dx) = -(1-t([-\sin(x)e^{-xt}]_0^\infty +t\int_0^\infty \sin(x)e^{-xt}\,dx))=-1+t^2\int_0^\infty \sin(x)e^{-xt}\,dx\Rightarrow \int_0^\infty \sin(x)e^{-xt}\,dx=-\frac{1}{1-t^2}$

De esta manera, por el teorema fundamental del cálculo, $I=\int \left(-\frac{1}{1-t^2}\right)\,dt=-\arctan(t)+c$ donde $c$ es una constante. Así que toma $c=\frac{\pi}{2}$ .

¿Es correcto? Y, mi duda es, ¿puedo realmente decir que $\frac{\partial}{\partial t} \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}e^{-xt}\,dx=\int_0^\infty\frac{\partial}{\partial t}\frac{\sin(x)}{x}e^{-xt}\,dx$ ?

He intentado utilizar el teorema de la convergencia dominada para demostrar que puedo tratar esa derivada de esta forma, pero no he podido encontrar ninguna integrable $g$ tal que $g\geq |f_n|$ .

Answer 1

Aunque el problema del signo en mi derivada, según lo comentado por Daniel Fischer, he encontrado un teorema que justifica por qué puedo hacer eso.

"Let $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ sea un espacio de medidas, y sea $f:\Omega\times [a,b]\to\mathbb{R}$ sea una función tal que $f(.,t)$ es $\mathcal{F}$ -medible para cada $t\in[a,b]$ . (aquí $[a,b] \subset \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ )

Supongamos que $y(x)=f(x,t_0)$ es integrable para todo $x\in\Omega$ para $t_0\in [a,b]$ . Supongamos que $\exists \frac{\partial f}{\partial t}\in \Omega\times (a,b)$ y que hay un $g$ integrable tal que $|\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)|\leq g(x)$ para cada $t\in (a,b)$ . Entonces

$\frac{\partial F}{\partial t}(t):= \frac{\partial}{\partial t} \int f(x,t)\,d\mu = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x) d\mu$ "

En este caso, sólo tenemos que tomar $g(x)=e^{-xt}$ una vez $|\frac{\partial}{\partial t} (\frac{sin(x)}{x}e^{-xt})|=|-sin(x)e^{-xt}|\leq e^{-xt}$