El morfismo de grupo mónico es una inyección.

Question

Intento demostrar que un morfismo de grupo mónico es una inyección. ¿Se deduce esto de la existencia de un grupo libre en un generador? Gracias por cualquier opinión al respecto.

Answer 1

Pista: Si $f:G\to H$ no es inyectiva, intente encontrar dos subgrupos diferentes de $G$ que se asignan a la identidad en $H$ .

Por supuesto, esto no funciona para monoides, por lo que la idea en ese caso sería de hecho enviar el generador $1$ de $\Bbb Z$ a los dos elementos $a,b\in G$ que tienen la misma imagen en $f$ .

Answer 2

Las inyecciones son las mónicas de la categoría $\mathsf{Sets}$ . Entonces se quiere demostrar que el functor olvidadizo $U \colon \mathsf{Grps} \to \mathsf{Sets}$ de grupos a conjuntos preserva los monomorfismos.

Pero $U$ admite un adjunto izquierdo (a saber, el functor de grupo libre) y, por tanto, preserva los límites (pequeños). Si puedes demostrar que la condición mónica puede expresarse como un límite, entonces has terminado. Te dejo que demuestres que una flecha es mónica si y sólo si [ algún diagrama : ¡encuéntralo! ] es un cono límite.