Si la rotación se restringe alrededor de un eje fijo, entonces hay un momento de inercia de masa única componente asociado a este eje. Se define como
$$\text{(angular momentum)} = \text{(mass moment of inertia)} \text{(rotation)}$$
$$ L_{\rm axis} = I_{\rm axis} \omega_{\rm axis} \tag{1}$$
El vector de rotación es en realidad sólo una dirección y una magnitud. Cualquier componente MMOI individual relaciona sólo la magnitud a lo largo de una dirección especificada con el momento angular resultante.
Para generalizar este problema, se puede tomar todos posibles sentidos de rotación y describir los vectores de momento angular resultantes como un momento de inercia de la masa tensor . Matemáticamente se trata de una matriz 3×3 que transforma un vector de rotación 3×1 en un vector de momento angular 3×1
$$ \boldsymbol{L} = \mathbf{I}\, \boldsymbol{\omega} $$ $$ \pmatrix{L_x \\ L_y \\ L_z} = \begin{vmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \end{vmatrix} \pmatrix{\omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z } \tag{2}$$
Ahora bien, en sentido general, el vector de rotación no está asociado a un lugar concreto. Me refiero a las componentes de $\boldsymbol{\omega}$ no cambian de un punto a otro, como las componentes de la velocidad lineal $\boldsymbol{v}$ . Así pues, en la ecuación anterior la rotación sólo define la dirección y la magnitud.
Pero el momento angular se define en un punto. Lo que significa que si se expresa en un lugar diferente, los componentes cambian de forma similar a las velocidades y los pares:
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{v}_A & = \boldsymbol{v}_B + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega} & & \text{transformation of velocities} \\ \boldsymbol{L}_A & = \boldsymbol{L}_B + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} & & \text{transformation of angular momentum} \\ \boldsymbol{\tau}_A &= \boldsymbol{\tau}_B + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} & & \text{transformation of torque} \\ \end{aligned} \tag{3}$$
Aquí el vector <span class="math-container">$\boldsymbol{r}$</span> va de <span class="math-container">$A \rightarrow B$</span> y <span class="math-container">$\boldsymbol{p}$</span> es el momento lineal.
Así pues, la definición del momento de inercia de la masa debe incluir información sobre la ubicación, lo que hace que la ecuación (2) sea incorrecta a menos que se especifique la ubicación de algún modo.
$$ \boldsymbol{L}_A = \mathbf{I}_A \,\boldsymbol{\omega} \tag{4}$$
y la transformación de un punto a otro se realiza mediante el teorema de los ejes paralelos
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{L}_A & = \boldsymbol{L}_B + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \\ & = \boldsymbol{L}_B + \boldsymbol{r} \times (m \boldsymbol{v}) \\ & = \mathbf{I}_B\, \boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{r} \times (m \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \\ \boldsymbol{L}_A &= \mathbf{I}_A\,\boldsymbol{\omega} \end{aligned} \tag{5}$$
donde $$\mathbf{I}_A = \mathbf{I}_B - m [\boldsymbol{r}\times] [\boldsymbol{r} \times] $$
y <span class="math-container">$[\boldsymbol{r}\times] = \begin{vmatrix} 0 & -z & y \ z & 0 & -x \ -y & x & 0 \end{vmatrix} $</span> es una construcción matemática para representar productos cruzados. Se denomina <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Conversion_to_matrix_multiplication" rel="nofollow noreferrer">operador matricial de producto cruzado </a>.
En resumen:
- Los vectores de rotación no se definen en un punto, sino que los componentes de rotación deben especificarse a lo largo de una dirección. Los vectores de rotación son una propiedad de entre cuerpo rígido.
- Los vectores de velocidad se definen en un punto, aunque puede haber varios puntos (en una línea) que no coincidan. una línea) que no modifican las componentes del vector. Se definen como el eje de rotación de un cuerpo. Cuando se especifica una componente de la velocidad, es necesario especificar también su ubicación y dirección.
- El vector momento no se define en un punto sino que es una propiedad de un todo cuerpo rígido, ya que siempre se define como la masa por el vector velocidad en el centro de masa.
- El vector momento angular se define en un punto igual que la velocidad, y existe una línea en el espacio donde las componentes del vector no cambian. Esto se denomina eje de percusión. Una vez más, cuando se especifica un componente del momento angular, es necesario especificar también su dirección, así como su ubicación.
- El tensor del momento de inercia de la masa se define en un lugar y junto con un sistema de coordenadas especificado. Tiene que ser el mismo sistema de coordenadas en el que se define la velocidad de rotación.
- El vector de fuerza no es específico de un lugar, sino que se comparte con todo un cuerpo. En cuanto al movimiento del centro de masa de un cuerpo, sólo importa la fuerza neta, no el lugar donde se aplica la carga.
- El vector de par es específico de la ubicación, y el eje en el espacio donde los componentes del par no cambian se denomina línea de acción de la fuerza.
