Encontrar una base ortogonal

Question

Actualmente estoy trabajando en un problema que consiste en encontrar una base ortogonal. Dice lo siguiente:

Consideremos la matriz A =

|1  1|
|1 -1|
|1 -3|

Así que empecé haciendo esto:

B =

|1 |       |1|   | 2| 
|-1| - -3/3|1| = | 0|
|-3|       |1|   |-2|

Estoy atrapado aquí. Sé que la respuesta es:

|1/sqrt(3) 2/sqrt(8)|
|1/sqrt(3) 0        |
|1/sqrt(3) 2/sqrt(8)|

¿Cómo llegaría desde donde estoy hasta la respuesta final? ¿Hago otro paso al gram schmidt?

Answer 1

Creo que ya tiene la respuesta correcta. Si buscas una base ortogonal, has aplicado correctamente Gram-Schmidt para obtener el conjunto $$ \left\{\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}2\\0\\-2\end{matrix}\right)\right\} $$ Now, comparing this to the answer you say is supposed to be correct: their first vector is the same as yours, except normalized (hence my question about orthonormal). Their second vector I disagree with outright. In fact, it is NOT in the range of the transformation of the matrix. We can check this fact by attempting to solve the system: $$ \begin{matrix}x+y=\frac{2}{\sqrt{8}}\\x-y=0\\x-3y=\frac{2}{\sqrt{8}}\end{matrix} $$ De las dos primeras ecuaciones obtenemos que $x=y=\frac{1}{\sqrt{8}}$ pero esto contradice la tercera ecuación. Así que el segundo vector ni siquiera está en el rango.