Área de un polígono aleatorio

Question

La siguiente es una larga descripción de un cálculo que me gustaría hacer. Puedes pensar en el proceso descrito como una araña que construye una telaraña al azar. Me gustaría saber qué tamaño podemos esperar que tenga la telaraña.

Inscribir dentro de un círculo de radio $1$ un polígono regular con $n$ -verticales, etiquetados consecutivamente. Dibuja un radio desde el centro hasta cada vértice. Para $i=1,\ldots,n$ coloca una cuenta $b_i$ en el radio conectado al vértice $i$ . Podemos deslizar cada cuenta a diferentes posiciones en su radio, por lo que el estado de las cuentas se describe con un vector $(x_1,\ldots,x_n)\in [0,1]^n$ donde $x_i$ es la distancia de $b_i$ desde el centro. Sea $P(x_1,\ldots,x_n)$ sea el polígono formado por la unión de cada $b_i$ a sus vecinos inmediatos con un segmento de línea recta. Cada par de vecinos junto con el centro forman un triángulo, y sumando el área de todos esos triángulos se obtiene el área de $P(x_1,\ldots,x_n)$ :

$$A(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\left(x_nx_1+\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}\right)$$

La superficie total del $n$ -gon es

$$A_n=\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$

El cociente de las dos áreas define una función:

$$f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{n}\left(x_nx_1+\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}\right)$$
Si elegimos el $x_i$ uniformemente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que $f(x_1,\ldots,x_n)>c$ para un determinado $c\in[0,1]$ ?

Desde $f$ es continuo, el conjunto $E_c=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid f(x_1,\ldots,x_n)>c\}\subset [0,1]^n$ es medible, así que sólo busco $m(E_c)$ pero no sé muy bien cómo encontrarlo.

Answer 1

Sólo miro el caso $n=3$ y sólo $c\ge1/3$ . La probabilidad es entonces $$\int_{(3c-1)/2}^1dx\int_{(3c-x)/(1+x)}^1dy\int_{(3c-xy)/(x+y)}^11dz\\ =\int_{(3c-1)/2}^1dx\int_{(3c-x)/(1+x)}^1dy\left[1-\frac{3c-xy}{x+y}\right]\\ =\int_{(3c-1)/2}^1dx\left[y-3c\ln(x+y)+xy-x^2\ln(x+y)\right]_{(3c-x)/(1+x)}^1\\ =\int_{(3c-1)/2}^1dx\left[1+x-(3c+x^2)\ln(1+x)-(3c-x)+(3c+x^2)\ln\frac{3c+x^2}{1+x}\right]\\ =\frac94(c-1)^2+\left[4c\sqrt{3c}\tan^{-1}\left\{x/\sqrt{3c}\right\}-\frac29x(18c+x^2)+\frac13(9cx+x^3)\ln(3c+x^2)\right.\\ \left.-\frac19(6(9cx+9c+x^3+1)\ln(x+1)-x(54c+2x^2-3x+6))\right]_{(3c-1)/2}^1\\ $$ Eso es de Wolfram Alpha, que no podía hacer toda la integral a la vez.