¿Qué grupos p finitos son conmutadores de grupos p finitos?

Question

Sea $p$ sea un número primo. Para qué finito $p$ -grupos $H$ ¿existe un $p$ -grupo $G$ tal que $[G,G] \cong H$ ?

Answer 1

Existen algunos resultados para casos especiales. Burnside ha demostrado en $1912$ eso, si $G$ es un no-metabeliano $p$ -entonces el centro del grupo derivado de $G$ no puede ser cíclico. En particular, un grupo no abeliano de orden $p^3$ no puede ser el grupo derivado de a $p$ -grupo. Blackburn describió más tarde los grupos generadores de 2 que surgen como subgrupos conmutadores de $2$ -generador $p$ -grupos, véase ici .

Answer 2

(Esencialmente, Burnside) Si $H$ es un $p$ -que contenga un subgrupo característico no abeliano con centro cíclico, entonces no hay ninguna $p$ -grupo $G$ tal que $H$ es un $G$ -subgrupo invariante de $\Phi(G)$ . En particular, $H\ne G'$ , $H\ne \Phi(G)$ . A continuación, si un generador de dos $H$ es $G$ -subgrupo invariante de $\Phi(G)$ entonces $H$ es metacíclico.