Si estás viendo una carrera con 20 corredores y el tiempo que tarda cada uno de ellos en terminar es una variable aleatoria exponencial independiente con media 60 minutos. ¿Cuál es el tiempo esperado en que te marchas, si te marchas después de que terminen 3 corredores?
Dado que todos los corredores empiezan a la misma hora, ¿no sería técnicamente 60 la respuesta? Creo que me estoy perdiendo algo.
Te falta algo, que un simple ejemplo pone de manifiesto. Supongamos que cada corredor toma $1,2,$ o $3$ minutos para terminar la carrera, siendo cada resultado igualmente probable. Si hay $99$ corredores, entonces el número esperado de corredores que terminan en $1$ minuto es $33>3$ por lo que la hora prevista de salida debe ser $1$ minuto, no $2$ minutos.
La clave aquí es que aunque el valor esperado de la media es ciertamente $60$ no te interesa el valor esperado de la media. Te interesa el valor esperado del tercer valor más pequeño. En el ejemplo anterior, he explotado la discreción de la salida para simplificar el cálculo - un argumento similar para una distribución exponencial no funciona. Para empezar con el problema real, yo empezaría por encontrar el valor esperado del valor más pequeño, luego intentaría averiguar el valor esperado del segundo valor más pequeño y, por último, averiguaría el valor esperado del tercer valor más pequeño.
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