Ejercicio de aritmética cardinal de la teoría ingenua de conjuntos de Halmos

Question

En la página 95 de la teoría ingenua de conjuntos de Halmos, tenemos el ejercicio

Si $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ son familias de números cardinales tales que $a_i< b_i$ entonces $$\sum_i a_i<\prod_ib_i$$

Sé que conseguimos $\le$ fácilmente (se puede crear una inyección desde el LHS al RHS). La verdadera tarea es demostrar que no puede darse una biyección. Intenté hacer un argumento de diagonalización como en el teorema de Cantor, pero no dio resultado. El índice arbitrario $I$ hace que sea difícil hacer algo así. Incluso si lo sustituimos por un ordinal, porque podría ser incontable.

Estoy pensando que tal vez haya que usar la inducción transfinita en los ordinales (en el índice)?

¿Algún consejo o solución?

Answer 1

Antes de la prueba, observo que la suma $\sum_{i\in I} a_i$ se identifica con la unión disjunta $\bigcup_{i\in I} a_i\times\{i\}$ por comodidad.

Se puede demostrar que la desigualdad es estricta mediante un argumento diagonal. Recuerda que $|A|\le |B|$ si y sólo si existe una inyección de $A$ a $B$ . Si cada función de $A$ a $B$ no es onto, entonces $|A|<|B|$ . A partir de esto, debemos demostrar: si $f:\sum_{i\in I} a_i \to \prod_{i\in I} b_i$ es una función inyectiva, entonces existe una función $c\in \prod_{i\in I} b_i$ que no es un elemento del rango de $f$ (así $f$ no debe ser una biyección).

Considere $f\upharpoonright a_i$ Función $f$ cuyo dominio está restringido de $a_i$ . Desde $a_i<b_i$ la cardinalidad del rango de $f\upharpoonright a_i$ es inferior a $b_i$ . Además, la gama de $f\upharpoonright a_i$ consta de las funciones $x$ de $I$ con $x(i)\in b_i$ para todos $i\in I$ . De los hechos anteriores obtenemos $$|\{x(i)\in b_i : x\in \text{range of }f\upharpoonright a_i\}|\le a_i<b_i$$ para que podamos elegir $c_i\in b_i$ con $c_i\neq x(i)$ para todos $x\in (\text{range of }f\upharpoonright a_i)$ .

Definamos $c\in\prod_{i\in I}b_i$ con $c(i)=c_i$ . Puede comprobar que $c_i\in b_i$ para cada $i$ y $c\neq f(x)$ para todos $x\in \sum_i a_i$ .

Answer 2

Gracias a tetori, sé cómo funciona el argumento de la diagonalización. Publico la prueba formal para otros que puedan tener esta misma duda.

El truco consiste en proyectar la colección de funciones $\mathrm{ran} f\upharpoonright (\{i\}\times k_i)$ en $i$ que (por el axioma de elección) tiene número cardinal menor o igual que la colección.