Sobre el teorema de sustitución para series de potencias ("Mathematical Analysis Second Edition" de Tom M. Apostol)

Question

Estoy leyendo "Mathematical Analysis Second Edition" de Tom M. Apostol.

En el enunciado del teorema 9.25, el autor supuso que $\sum_{n=0}^{\infty} |b_nz^n|<r.$
Si suponemos que $|\sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n|<r$ para un $z$ en $B(0;R)$ ¿podemos escribir $f[g(z)]=\sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k$ ?

Answer 1

No, y se puede entender sin cálculos, a partir de algunas propiedades de las series de potencias.

Sea $f(z) = \frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^\infty z^n$ , dejemos que $g(z) = \sin(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$ .

Entonces $r = 1$ y $R = \infty$ . Series de potencia de $f(g(z))$ tiene radio de convergencia como máximo de $\pi / 2$ (porque esta función tiene un polo en este punto), y sabemos que la serie de potencias diverge en todas partes fuera de su radio de convergencia (porque incluso el término común no llega a $0$ ).

Entonces, si tomamos digamos $z = \pi$ obtenemos $|g(z)| < r$ pero las series para $f(g(z))$ diverge.