¿Es la convergencia de la secuencia de van Hove equivalente al límite termodinámico?

Question

He visto dos definiciones de límite termodinámico.

Definición 1 . Esta es la definición habitual en los manuales de física estadística, $$N \to \infty ,V \to \infty ,N/V = {\rm{constant}}$$ Hay muchas razones para considerar este límite termodinámico, una de las cuales es que los efectos superficiales deberían ser insignificantes, ya que sólo interesan las propiedades a granel. Sin embargo, no veo ninguna prueba de que el enunciado matemático anterior pueda conducir a un efecto superficial despreciable. Si $V \to \infty $ entonces la superficie del sistema también tenderá a infinito. Entonces encontré la segunda definición de límite termodinámico,

Definición 2 . Encontré esta definición en capítulo 3 de "Statistical Mechanics of Lattice Systems" de Sacha Friedli e Yvan Velenik. En 3.2.1 (página 83), una secuencia ${\Lambda _n}$ converge a $ {Z^d} $ ( $ {Z^d} $ es una red infinita de dimensión d) en el sentido de van Hove se define como,

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left| {{\partial ^{{\rm{in}}}}{\Lambda _n}} \right|}}{{\left| {{\Lambda _n}} \right|}} = 0$$

El significado de los símbolos puede verse en el libro. Parece que esta definición se utilizó como definición de límite termodinámico en este libro.

Esta definición de límite termodinámico muestra claramente que los efectos de superficie son despreciables. Así que mi pregunta es ¿son equivalentes estas dos definiciones de límite termodinámico?

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Como dijo @GiorgioP, el significado de los símbolos relacionados se enumeran a continuación,

$ {Z^d} $ es d red cúbica dimensional (infinita); ${\Lambda _n}$ es una secuencia ( $n \ge 1$ ) de subconjuntos de volumen finito de $ {Z^d} $ Eso es, ${\Lambda _n} \subset {Z^d},\left| {{\Lambda _n}} \right| < \infty$ (PD: no he encontrado la definición de $\left| \Lambda \right|$ en el libro, por el contexto creo que puede ser el número de vértices en $\Lambda$ )
${\partial ^{{\rm{in}}}}{\Lambda _n}$ es la superficie de ${\Lambda _n}$ que se define por $${\partial ^{\ln }}\Lambda \mathop = \limits^{{\rm{ def }}} \{ i \in \Lambda :\exists j \notin \Lambda ,j\sim i\}$$
aquí ${j \sim i}$ significa vértice j y i y unidas por una sola arista en el modelo de Ising.

Answer 1

A falta de una definición de los símbolos que usted menciona en el libro citado en la definición 2, es difícil hacer más que algunas conjeturas sobre las relaciones mutuas de las dos definiciones. Es muy probable que la definición 2 se refiera al límite termodinámico de un sistema en una red.

Sin embargo, hay una observación general, que es una respuesta parcial a su pregunta. El límite termodinámico es una herramienta formal para recuperar todas las propiedades de los sistemas termodinámicos clásicos a partir de la formulación de conjuntos de la mecánica estadística. La idea física subyacente consiste en buscar el límite de alguna versión intensiva de los potenciales termodinámicos cuando crece el tamaño del sistema. Como tal, su definición precisa varía con el sistema y con el conjunto.

Por ejemplo, el límite termodinámico en los conjuntos microcanónicos, canónicos y grancanónicos habituales son:

• (microcanónico) $$ N \rightarrow \infty, V \rightarrow \infty, E \rightarrow \infty, $$ mantener constante $E/V$ y $N/V$ .
• (canónico) $$ N \rightarrow \infty, V \rightarrow \infty $$ mantener constante $N/V$ a una temperatura fija.
• (gran canónico) $$ V \rightarrow \infty $$ a una temperatura y un potencial químico fijos.

Además, si se requieren variables extensivas adicionales o diferentes para describir un macroestado, también deben incluirse.

El supuesto básico que justifica la desaparición de los efectos de tamaño finito en el límite termodinámico es que no escalarían como el volumen $V$ pero al menos como $V^{\alpha}$ con $\alpha<1$ . Para un sistema 3D finito en el que las partículas interactúan a través de fuerzas de corto alcance, cabría esperar que los efectos de superficie se escalasen como $V^{2/3}$ . Lo difícil es demostrar rigurosamente que esa expectativa se cumple realmente con modelos de interacción realistas.

Answer 2

No tengo nada que añadir a la excelente respuesta de @GiorgioP , así que me centraré en cuestiones específicas del reserve su dirección . (De su pregunta se desprende que varios de los aspectos que comento a continuación están claros para usted; no obstante, los comento por si pudieran ser de utilidad para otros lectores).

En primer lugar, si $A\subset\mathbb{Z}^d$ entonces $|A|$ denota el número de vértices en $A$ (véase la lista de convenciones, página xv de la versión gratuita del libro).

Sistemas de giro vs fluidos

La forma en que consideras el límite termodinámico se aplica mejor a un fluido, en el que el número de moléculas y el volumen del sistema son cantidades distintas. La definición que citas de nuestro libro se aplica al modelo de Ising, en el que hay un espín por vértice, por lo que el volumen $V$ y el número de constituyentes $N$ serían iguales en este caso.

Encontrará afirmaciones más parecidas a las que está acostumbrado en la interpretación reticular-gas de este modelo. En esta interpretación, a $+$ spin corresponde a un vértice ocupado por una "partícula", mientras que un $-$ spin corresponde a un vértice vacío. En este caso, el número de $N$ de partículas y el volumen $V$ del sistema son de nuevo cantidades distintas y el límite termodinámico adopta la forma más habitual.

Como mencionó @GiorgioP, entonces tienes varias nociones de límites termodinámicos según el conjunto que estés considerando. Esto se trata en detalle en el capítulo 4 del libro. También hay una discusión informal en el capítulo introductorio (Sección 1.3).

Convergencia en el sentido de van Hove

Por último, la condición precisa que afirmas (convergencia en el sentido de van Hove) es necesaria si quieres demostrar la convergencia de la presión (o del potencial termodinámico pertinente para el conjunto que consideras) de sistemas de volumen finito a un límite universal (es decir, un límite que no depende de la "forma" de las cajas en las que están contenidos tus sistemas finitos ni de la condición de contorno utilizada). A continuación, debe ser capaz de demostrar que los efectos de contorno sólo inducen correcciones de orden superior que desaparecen en el límite. Para sistemas con interacciones de corto alcance, resulta que estas correcciones escalan como el tamaño de la frontera del sistema y, por tanto, serán despreciables (recuerde que estamos interesados en densidades ) siempre que el tamaño de la frontera del sistema crezca más despacio que su volumen, que es precisamente lo que garantiza la condición de van Hove.

¿Por qué no se suele decir esto explícitamente en Física?

La respuesta es muy sencilla: normalmente, en Física, se trabaja con bonitas secuencias de "cajas" (cubos, por ejemplo), por lo que este problema no se plantea (o, mejor, la condición se cumple automáticamente). Esto es también lo que se hace en el capítulo 4 del libro.