Necesidad de utilizar módulos para demostrar que los límites directos son exactos

Question

Hace poco leí la prueba aquí que los límites directos son functores exactos en la categoría de $R$ -módulos. En esa prueba, no veo dónde Arturo está utilizando el hecho de que estamos trabajando en una categoría de módulos, pero en esta pregunta obtenemos un ejemplo que muestra que tomar límites directos no es necesariamente exacto en una categoría arbitraria.

Entonces, ¿dónde estamos usando que trabajamos en una categoría de módulos en la prueba de que los límites directos son functores exactos?

Answer 1

Muchos de los argumentos de la prueba de Arturo utilizan elementos. Es probable que algunos puedan eliminarse, por ejemplo los de la prueba de que la composición es $0$ , pero no veo cómo quitar el $k$ de la línea

así que por la exactitud del diagrama original sabemos que existe $k \in K_i$ ...