¿Cómo calcular esta integral de Riemann-Stieltjes?

Question

¿Cómo calcular esta integral de Riemann-Stieltjes?

\begin{equation} \int_{1}^{3}e^{x}d\left\lfloor x\right\rfloor \end{equation}

Si $x\in\left[0,\,3\right]$ entonces $\left\lfloor x\right\rfloor =I\left(x-1\right)+I\left(x-2\right)+I\left(x-3\right)$ , donde $I\left(x-a_{i}\right)=0$ si $x<a_{i}$ , $I\left(x-a_{i}\right)=1$ si $x\geq a_{i}$ .

Entonces es fácil, tenemos $\int_{0}^{3}e^{x}d\left\lfloor x\right\rfloor =\sum_{n=1}^{3}e^{a_{i}}$ .

Pero aquí $x\in\left[1,\,3\right]$ ¿Cómo solucionarlo? Gracias muchas gracias.

Answer 1

Sea $$f(x) = e^x, \;g(x) = \lfloor x \rfloor, \\ I = \int_1^3 f(x) dg(x).$$ Si dispone de una fórmula para calcular $F(x) = \int_0^x f(t) dg(t)$ entonces $I = F(3) - F(1)$ .

Alternativamente, $$I = f(2) \lim_{\epsilon \downarrow 0} (g(2 + \epsilon) - g(2 - \epsilon)) + f(3) \lim_{\epsilon \downarrow 0} (g(3) - g(3 - \epsilon)).$$

Como otra opción, $$I = f(3) g(3) - f(1) g(1) - \int_1^3 f'(x) g(x) dx.$$